Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 17300 / 24268
↖ ↑ ↗
← S 65.127638°
E 10.063477°		 ← 513.82 m → S 65.127638°
E 10.074463°		 →
↑
513.76 m
↓
↑
513.76 m
↓
S 65.132258°
E 10.063477°		 ← 513.73 m →
263 956 m²		 S 65.132258°
E 10.074463°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17300 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24268 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527969360351562 y=0.740615844726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527969360351562 × 215)
    floor (0.527969360351562 × 32768)
    floor (17300.5)     		tx = 17300
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740615844726562 × 215)
    floor (0.740615844726562 × 32768)
    floor (24268.5)     		ty = 24268
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17300 / 24268 ti = "15/17300/24268"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17300/24268.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17300 ÷ 215
    17300 ÷ 32768     		x = 0.5279541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24268 ÷ 215
    24268 ÷ 32768     		y = 0.7406005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5279541015625 × 2 - 1) × π
    0.055908203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.17564080
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7406005859375 × 2 - 1) × π
    -0.481201171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.51173806641809
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17564080} λ = 0.17564080}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51173806641809))-π/2
    2×atan(0.220526355222737)-π/2
    2×0.217052305212472-π/2
    0.434104610424945-1.57079632675     		φ = -1.13669172
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17564080} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.063477°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13669172 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.127638°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17300 KachelY 24268 0.17564080 -1.13669172 10.063477 -65.127638
    Oben rechts KachelX + 1 17301 KachelY 24268 0.17583255 -1.13669172 10.074463 -65.127638
    Unten links KachelX 17300 KachelY + 1 24269 0.17564080 -1.13677236 10.063477 -65.132258
    Unten rechts KachelX + 1 17301 KachelY + 1 24269 0.17583255 -1.13677236 10.074463 -65.132258
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13669172--1.13677236) × R
    8.06399999999652e-05 × 6371000     		dl = 513.757439999778m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13669172--1.13677236) × R
    8.06399999999652e-05 × 6371000     		dr = 513.757439999778m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17564080-0.17583255) × cos(-1.13669172) × R
    0.000191749999999991 × 0.420598227272906 × 6371000     		do = 513.819302916977m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17564080-0.17583255) × cos(-1.13677236) × R
    0.000191749999999991 × 0.420525065506828 × 6371000     		du = 513.729925631937m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13669172)-sin(-1.13677236))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.420598227272906-0.420525065506828)×R²
    abs(0.17583255-0.17564080)×7.31617660781891e-05×R²
    0.000191749999999991×7.31617660781891e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.31617660781891e-05×40589641000000     		ar = 263955.530709627m²