Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1730 / 1334
↖ ↑ ↗
← N 53.014783°
W 27.949219°		 ← 5 879.52 m → N 53.014783°
W 27.861328°		 →
↑
5 883.11 m
↓
↑
5 883.11 m
↓
N 52.961875°
W 27.949219°		 ← 5 886.72 m →
34 611 033 m²		 N 52.961875°
W 27.861328°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1730 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1334 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4224853515625 y=0.3258056640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4224853515625 × 212)
    floor (0.4224853515625 × 4096)
    floor (1730.5)     		tx = 1730
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3258056640625 × 212)
    floor (0.3258056640625 × 4096)
    floor (1334.5)     		ty = 1334
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1730 / 1334 ti = "12/1730/1334"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1730/1334.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1730 ÷ 212
    1730 ÷ 4096     		x = 0.42236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1334 ÷ 212
    1334 ÷ 4096     		y = 0.32568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42236328125 × 2 - 1) × π
    -0.1552734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.48780589
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32568359375 × 2 - 1) × π
    0.3486328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.09526228251904
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48780589} λ = -0.48780589}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09526228251904))-π/2
    2×atan(2.98996679658254)-π/2
    2×1.24803942332372-π/2
    2.49607884664743-1.57079632675     		φ = 0.92528252
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48780589} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.949219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92528252 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.014783°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1730 KachelY 1334 -0.48780589 0.92528252 -27.949219 53.014783
    Oben rechts KachelX + 1 1731 KachelY 1334 -0.48627191 0.92528252 -27.861328 53.014783
    Unten links KachelX 1730 KachelY + 1 1335 -0.48780589 0.92435910 -27.949219 52.961875
    Unten rechts KachelX + 1 1731 KachelY + 1 1335 -0.48627191 0.92435910 -27.861328 52.961875
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92528252-0.92435910) × R
    0.000923420000000008 × 6371000     		dl = 5883.10882000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92528252-0.92435910) × R
    0.000923420000000008 × 6371000     		dr = 5883.10882000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48780589--0.48627191) × cos(0.92528252) × R
    0.00153398000000005 × 0.601608942028614 × 6371000     		do = 5879.51611685382m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48780589--0.48627191) × cos(0.92435910) × R
    0.00153398000000005 × 0.602346304791586 × 6371000     		du = 5886.72235324094m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92528252)-sin(0.92435910))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.601608942028614-0.602346304791586)×R²
    abs(-0.48627191--0.48780589)×0.000737362762972427×R²
    0.00153398000000005×0.000737362762972427×6371000²
    0.00153398000000005×0.000737362762972427×40589641000000     		ar = 34611033.1202293m²