Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 17298 / 14541
↖ ↑ ↗
← N 80.082204°
W132.489624°		 ← 52.59 m → N 80.082204°
W132.486878°		 →
↑
52.56 m
↓
↑
52.56 m
↓
N 80.081732°
W132.489624°		 ← 52.60 m →
2 764 m²		 N 80.081732°
W132.486878°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17298 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14541 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.131977081298828 y=0.110942840576172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.131977081298828 × 217)
    floor (0.131977081298828 × 131072)
    floor (17298.5)     		tx = 17298
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.110942840576172 × 217)
    floor (0.110942840576172 × 131072)
    floor (14541.5)     		ty = 14541
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 17298 / 14541 ti = "17/17298/14541"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/17298/14541.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17298 ÷ 217
    17298 ÷ 131072     		x = 0.131973266601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14541 ÷ 217
    14541 ÷ 131072     		y = 0.110939025878906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.131973266601562 × 2 - 1) × π
    -0.736053466796875 × 3.1415926535     		Λ = -2.31238016
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.110939025878906 × 2 - 1) × π
    0.778121948242188 × 3.1415926535     		Φ = 2.44454219612476
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.31238016} λ = -2.31238016}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44454219612476))-π/2
    2×atan(11.5252720766761)-π/2
    2×1.48424723446728-π/2
    2.96849446893456-1.57079632675     		φ = 1.39769814
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.31238016} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -132.489624°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39769814 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.082204°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17298 KachelY 14541 -2.31238016 1.39769814 -132.489624 80.082204
    Oben rechts KachelX + 1 17299 KachelY 14541 -2.31233223 1.39769814 -132.486878 80.082204
    Unten links KachelX 17298 KachelY + 1 14542 -2.31238016 1.39768989 -132.489624 80.081732
    Unten rechts KachelX + 1 17299 KachelY + 1 14542 -2.31233223 1.39768989 -132.486878 80.081732
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39769814-1.39768989) × R
    8.2499999998209e-06 × 6371000     		dl = 52.560749998859m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39769814-1.39768989) × R
    8.2499999998209e-06 × 6371000     		dr = 52.560749998859m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.31238016--2.31233223) × cos(1.39769814) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.172235057922225 × 6371000     		do = 52.5940469243305m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.31238016--2.31233223) × cos(1.39768989) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.172243184627366 × 6371000     		du = 52.5965285115094m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39769814)-sin(1.39768989))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.172235057922225-0.172243184627366)×R²
    abs(-2.31233223--2.31238016)×8.12670514038771e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.12670514038771e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.12670514038771e-06×40589641000000     		ar = 2764.44776881932m²