Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 17297 / 18064
↖ ↑ ↗
← S 18.145852°
E 10.030518°		 ← 1 160.88 m → S 18.145852°
E 10.041504°		 →
↑
1 160.80 m
↓
↑
1 160.80 m
↓
S 18.156291°
E 10.030518°		 ← 1 160.81 m →
1 347 509 m²		 S 18.156291°
E 10.041504°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17297 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18064 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527877807617188 y=0.551284790039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527877807617188 × 215)
    floor (0.527877807617188 × 32768)
    floor (17297.5)     		tx = 17297
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.551284790039062 × 215)
    floor (0.551284790039062 × 32768)
    floor (18064.5)     		ty = 18064
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17297 / 18064 ti = "15/17297/18064"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17297/18064.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17297 ÷ 215
    17297 ÷ 32768     		x = 0.527862548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18064 ÷ 215
    18064 ÷ 32768     		y = 0.55126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.527862548828125 × 2 - 1) × π
    0.05572509765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.17506556
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.55126953125 × 2 - 1) × π
    -0.1025390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.322135965446777
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17506556} λ = 0.17506556}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.322135965446777))-π/2
    2×atan(0.724599663114976)-π/2
    2×0.627045733904366-π/2
    1.25409146780873-1.57079632675     		φ = -0.31670486
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17506556} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.030518°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.31670486 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.145852°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17297 KachelY 18064 0.17506556 -0.31670486 10.030518 -18.145852
    Oben rechts KachelX + 1 17298 KachelY 18064 0.17525731 -0.31670486 10.041504 -18.145852
    Unten links KachelX 17297 KachelY + 1 18065 0.17506556 -0.31688706 10.030518 -18.156291
    Unten rechts KachelX + 1 17298 KachelY + 1 18065 0.17525731 -0.31688706 10.041504 -18.156291
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.31670486--0.31688706) × R
    0.000182200000000021 × 6371000     		dl = 1160.79620000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.31670486--0.31688706) × R
    0.000182200000000021 × 6371000     		dr = 1160.79620000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17506556-0.17525731) × cos(-0.31670486) × R
    0.000191749999999991 × 0.950266803693645 × 6371000     		do = 1160.88322536414m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17506556-0.17525731) × cos(-0.31688706) × R
    0.000191749999999991 × 0.950210044100559 × 6371000     		du = 1160.81388561742m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.31670486)-sin(-0.31688706))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.950266803693645-0.950210044100559)×R²
    abs(0.17525731-0.17506556)×5.6759593085931e-05×R²
    0.000191749999999991×5.6759593085931e-05×6371000²
    0.000191749999999991×5.6759593085931e-05×40589641000000     		ar = 1347508.59571713m²