Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 17297 / 14545
↖ ↑ ↗
← N 80.080312°
W132.492371°		 ← 52.61 m → N 80.080312°
W132.489624°		 →
↑
52.56 m
↓
↑
52.56 m
↓
N 80.079839°
W132.492371°		 ← 52.62 m →
2 766 m²		 N 80.079839°
W132.489624°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17297 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14545 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.131969451904297 y=0.110973358154297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.131969451904297 × 217)
    floor (0.131969451904297 × 131072)
    floor (17297.5)     		tx = 17297
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.110973358154297 × 217)
    floor (0.110973358154297 × 131072)
    floor (14545.5)     		ty = 14545
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 17297 / 14545 ti = "17/17297/14545"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/17297/14545.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17297 ÷ 217
    17297 ÷ 131072     		x = 0.131965637207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14545 ÷ 217
    14545 ÷ 131072     		y = 0.110969543457031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.131965637207031 × 2 - 1) × π
    -0.736068725585938 × 3.1415926535     		Λ = -2.31242810
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.110969543457031 × 2 - 1) × π
    0.778060913085938 × 3.1415926535     		Φ = 2.44435044852628
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.31242810} λ = -2.31242810}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44435044852628))-π/2
    2×atan(11.5230623452957)-π/2
    2×1.48423072007853-π/2
    2.96846144015706-1.57079632675     		φ = 1.39766511
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.31242810} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -132.492371°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39766511 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.080312°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17297 KachelY 14545 -2.31242810 1.39766511 -132.492371 80.080312
    Oben rechts KachelX + 1 17298 KachelY 14545 -2.31238016 1.39766511 -132.489624 80.080312
    Unten links KachelX 17297 KachelY + 1 14546 -2.31242810 1.39765686 -132.492371 80.079839
    Unten rechts KachelX + 1 17298 KachelY + 1 14546 -2.31238016 1.39765686 -132.489624 80.079839
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39766511-1.39765686) × R
    8.25000000004295e-06 × 6371000     		dl = 52.5607500002736m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39766511-1.39765686) × R
    8.25000000004295e-06 × 6371000     		dr = 52.5607500002736m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.31242810--2.31238016) × cos(1.39766511) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.172267594223951 × 6371000     		do = 52.6149574438356m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.31242810--2.31238016) × cos(1.39765686) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.172275720882153 × 6371000     		du = 52.6174395344305m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39766511)-sin(1.39765686))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.172267594223951-0.172275720882153)×R²
    abs(-2.31238016--2.31242810)×8.12665820146274e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.12665820146274e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.12665820146274e-06×40589641000000     		ar = 2765.54685482844m²