Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17296 / 18062
↖ ↑ ↗
← S 18.124970°
E 10.019531°		 ← 1 161.02 m → S 18.124970°
E 10.030518°		 →
↑
1 160.99 m
↓
↑
1 160.99 m
↓
S 18.135411°
E 10.019531°		 ← 1 160.95 m →
1 347 891 m²		 S 18.135411°
E 10.030518°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17296 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18062 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527847290039062 y=0.551223754882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527847290039062 × 215)
    floor (0.527847290039062 × 32768)
    floor (17296.5)     		tx = 17296
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.551223754882812 × 215)
    floor (0.551223754882812 × 32768)
    floor (18062.5)     		ty = 18062
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17296 / 18062 ti = "15/17296/18062"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17296/18062.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17296 ÷ 215
    17296 ÷ 32768     		x = 0.52783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18062 ÷ 215
    18062 ÷ 32768     		y = 0.55120849609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52783203125 × 2 - 1) × π
    0.0556640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.17487381
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.55120849609375 × 2 - 1) × π
    -0.1024169921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.321752470249817
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17487381} λ = 0.17487381}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.321752470249817))-π/2
    2×atan(0.724877596895228)-π/2
    2×0.62722795615952-π/2
    1.25445591231904-1.57079632675     		φ = -0.31634041
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17487381} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.019531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.31634041 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.124970°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17296 KachelY 18062 0.17487381 -0.31634041 10.019531 -18.124970
    Oben rechts KachelX + 1 17297 KachelY 18062 0.17506556 -0.31634041 10.030518 -18.124970
    Unten links KachelX 17296 KachelY + 1 18063 0.17487381 -0.31652264 10.019531 -18.135411
    Unten rechts KachelX + 1 17297 KachelY + 1 18063 0.17506556 -0.31652264 10.030518 -18.135411
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.31634041--0.31652264) × R
    0.000182230000000005 × 6371000     		dl = 1160.98733000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.31634041--0.31652264) × R
    0.000182230000000005 × 6371000     		dr = 1160.98733000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17487381-0.17506556) × cos(-0.31634041) × R
    0.000191750000000018 × 0.950380243794902 × 6371000     		do = 1161.02180824453m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17487381-0.17506556) × cos(-0.31652264) × R
    0.000191750000000018 × 0.950323537966153 × 6371000     		du = 1160.95253417843m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.31634041)-sin(-0.31652264))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.950380243794902-0.950323537966153)×R²
    abs(0.17506556-0.17487381)×5.67058287497257e-05×R²
    0.000191750000000018×5.67058287497257e-05×6371000²
    0.000191750000000018×5.67058287497257e-05×40589641000000     		ar = 1347891.39979931m²