Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17295 / 18061
↖ ↑ ↗
← S 18.114529°
E 10.008545°		 ← 1 161.09 m → S 18.114529°
E 10.019531°		 →
↑
1 160.99 m
↓
↑
1 160.99 m
↓
S 18.124970°
E 10.008545°		 ← 1 161.02 m →
1 347 972 m²		 S 18.124970°
E 10.019531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17295 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18061 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527816772460938 y=0.551193237304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527816772460938 × 215)
    floor (0.527816772460938 × 32768)
    floor (17295.5)     		tx = 17295
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.551193237304688 × 215)
    floor (0.551193237304688 × 32768)
    floor (18061.5)     		ty = 18061
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17295 / 18061 ti = "15/17295/18061"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17295/18061.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17295 ÷ 215
    17295 ÷ 32768     		x = 0.527801513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18061 ÷ 215
    18061 ÷ 32768     		y = 0.551177978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.527801513671875 × 2 - 1) × π
    0.05560302734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.17468206
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.551177978515625 × 2 - 1) × π
    -0.10235595703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.321560722651337
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17468206} λ = 0.17468206}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.321560722651337))-π/2
    2×atan(0.725016603760316)-π/2
    2×0.627319075441224-π/2
    1.25463815088245-1.57079632675     		φ = -0.31615818
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17468206} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.008545°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.31615818 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.114529°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17295 KachelY 18061 0.17468206 -0.31615818 10.008545 -18.114529
    Oben rechts KachelX + 1 17296 KachelY 18061 0.17487381 -0.31615818 10.019531 -18.114529
    Unten links KachelX 17295 KachelY + 1 18062 0.17468206 -0.31634041 10.008545 -18.124970
    Unten rechts KachelX + 1 17296 KachelY + 1 18062 0.17487381 -0.31634041 10.019531 -18.124970
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.31615818--0.31634041) × R
    0.000182230000000005 × 6371000     		dl = 1160.98733000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.31615818--0.31634041) × R
    0.000182230000000005 × 6371000     		dr = 1160.98733000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17468206-0.17487381) × cos(-0.31615818) × R
    0.000191749999999991 × 0.950436918063641 × 6371000     		do = 1161.09104375552m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17468206-0.17487381) × cos(-0.31634041) × R
    0.000191749999999991 × 0.950380243794902 × 6371000     		du = 1161.02180824436m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.31615818)-sin(-0.31634041))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.950436918063641-0.950380243794902)×R²
    abs(0.17487381-0.17468206)×5.66742687384547e-05×R²
    0.000191749999999991×5.66742687384547e-05×6371000²
    0.000191749999999991×5.66742687384547e-05×40589641000000     		ar = 1347971.8037312m²