Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17294 / 24154
↖ ↑ ↗
← S 64.595613°
E  9.997558°		 ← 524.09 m → S 64.595613°
E 10.008545°		 →
↑
524.01 m
↓
↑
524.01 m
↓
S 64.600326°
E  9.997558°		 ← 524 m →
274 606 m²		 S 64.600326°
E 10.008545°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17294 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24154 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527786254882812 y=0.737136840820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527786254882812 × 215)
    floor (0.527786254882812 × 32768)
    floor (17294.5)     		tx = 17294
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.737136840820312 × 215)
    floor (0.737136840820312 × 32768)
    floor (24154.5)     		ty = 24154
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17294 / 24154 ti = "15/17294/24154"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17294/24154.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17294 ÷ 215
    17294 ÷ 32768     		x = 0.52777099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24154 ÷ 215
    24154 ÷ 32768     		y = 0.73712158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52777099609375 × 2 - 1) × π
    0.0555419921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.17449031
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73712158203125 × 2 - 1) × π
    -0.4742431640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.48987884019135
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17449031} λ = 0.17449031}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48987884019135))-π/2
    2×atan(0.225399963301528)-π/2
    2×0.221695100552302-π/2
    0.443390201104605-1.57079632675     		φ = -1.12740613
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17449031} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.997558°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12740613 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.595613°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17294 KachelY 24154 0.17449031 -1.12740613 9.997558 -64.595613
    Oben rechts KachelX + 1 17295 KachelY 24154 0.17468206 -1.12740613 10.008545 -64.595613
    Unten links KachelX 17294 KachelY + 1 24155 0.17449031 -1.12748838 9.997558 -64.600326
    Unten rechts KachelX + 1 17295 KachelY + 1 24155 0.17468206 -1.12748838 10.008545 -64.600326
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12740613--1.12748838) × R
    8.22499999999504e-05 × 6371000     		dl = 524.014749999684m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12740613--1.12748838) × R
    8.22499999999504e-05 × 6371000     		dr = 524.014749999684m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17449031-0.17468206) × cos(-1.12740613) × R
    0.000191749999999991 × 0.429004297627934 × 6371000     		do = 524.08848840094m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17449031-0.17468206) × cos(-1.12748838) × R
    0.000191749999999991 × 0.428929999550547 × 6371000     		du = 523.997722953404m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12740613)-sin(-1.12748838))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.429004297627934-0.428929999550547)×R²
    abs(0.17468206-0.17449031)×7.42980773870694e-05×R²
    0.000191749999999991×7.42980773870694e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.42980773870694e-05×40589641000000     		ar = 274606.317165369m²