Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 17293 / 10972
↖ ↑ ↗
← N 50.986099°
E  9.986572°		 ← 768.99 m → N 50.986099°
E  9.997558°		 →
↑
769.11 m
↓
↑
769.11 m
↓
N 50.979182°
E  9.986572°		 ← 769.11 m →
591 482 m²		 N 50.979182°
E  9.997558°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17293 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10972 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527755737304688 y=0.334854125976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527755737304688 × 215)
    floor (0.527755737304688 × 32768)
    floor (17293.5)     		tx = 17293
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334854125976562 × 215)
    floor (0.334854125976562 × 32768)
    floor (10972.5)     		ty = 10972
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17293 / 10972 ti = "15/17293/10972"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17293/10972.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17293 ÷ 215
    17293 ÷ 32768     		x = 0.527740478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10972 ÷ 215
    10972 ÷ 32768     		y = 0.3348388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.527740478515625 × 2 - 1) × π
    0.05548095703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.17429857
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3348388671875 × 2 - 1) × π
    0.330322265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.03773800297498
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17429857} λ = 0.17429857}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03773800297498))-π/2
    2×atan(2.82282456645666)-π/2
    2×1.23033581295576-π/2
    2.46067162591151-1.57079632675     		φ = 0.88987530
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17429857} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.986572°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88987530 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.986099°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17293 KachelY 10972 0.17429857 0.88987530 9.986572 50.986099
    Oben rechts KachelX + 1 17294 KachelY 10972 0.17449031 0.88987530 9.997558 50.986099
    Unten links KachelX 17293 KachelY + 1 10973 0.17429857 0.88975458 9.986572 50.979182
    Unten rechts KachelX + 1 17294 KachelY + 1 10973 0.17449031 0.88975458 9.997558 50.979182
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88987530-0.88975458) × R
    0.000120720000000074 × 6371000     		dl = 769.107120000472m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88987530-0.88975458) × R
    0.000120720000000074 × 6371000     		dr = 769.107120000472m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17429857-0.17449031) × cos(0.88987530) × R
    0.000191739999999996 × 0.629508922526655 × 6371000     		do = 768.9927019703m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17429857-0.17449031) × cos(0.88975458) × R
    0.000191739999999996 × 0.62960271656501 × 6371000     		du = 769.107278473352m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88987530)-sin(0.88975458))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.629508922526655-0.62960271656501)×R²
    abs(0.17449031-0.17429857)×9.37940383546332e-05×R²
    0.000191739999999996×9.37940383546332e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.37940383546332e-05×40589641000000     		ar = 591481.82383361m²