Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 1729 / 568
↖ ↑ ↗
← N 78.206563°
W 28.037109°		 ← 1 997.44 m → N 78.206563°
W 27.949219°		 →
↑
1 998.90 m
↓
↑
1 998.90 m
↓
N 78.188586°
W 28.037109°		 ← 2 000.44 m →
3 995 688 m²		 N 78.188586°
W 27.949219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1729 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 568 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4222412109375 y=0.1387939453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4222412109375 × 212)
    floor (0.4222412109375 × 4096)
    floor (1729.5)     		tx = 1729
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1387939453125 × 212)
    floor (0.1387939453125 × 4096)
    floor (568.5)     		ty = 568
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1729 / 568 ti = "12/1729/568"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1729/568.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1729 ÷ 212
    1729 ÷ 4096     		x = 0.422119140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 568 ÷ 212
    568 ÷ 4096     		y = 0.138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.422119140625 × 2 - 1) × π
    -0.15576171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.48933987
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.138671875 × 2 - 1) × π
    0.72265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.27029156600586
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48933987} λ = -0.48933987}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27029156600586))-π/2
    2×atan(9.68222340977379)-π/2
    2×1.46787917486646-π/2
    2.93575834973291-1.57079632675     		φ = 1.36496202
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48933987} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.037109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36496202 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.206563°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1729 KachelY 568 -0.48933987 1.36496202 -28.037109 78.206563
    Oben rechts KachelX + 1 1730 KachelY 568 -0.48780589 1.36496202 -27.949219 78.206563
    Unten links KachelX 1729 KachelY + 1 569 -0.48933987 1.36464827 -28.037109 78.188586
    Unten rechts KachelX + 1 1730 KachelY + 1 569 -0.48780589 1.36464827 -27.949219 78.188586
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36496202-1.36464827) × R
    0.000313750000000113 × 6371000     		dl = 1998.90125000072m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36496202-1.36464827) × R
    0.000313750000000113 × 6371000     		dr = 1998.90125000072m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48933987--0.48780589) × cos(1.36496202) × R
    0.00153397999999999 × 0.204383926193747 × 6371000     		do = 1997.44136785919m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48933987--0.48780589) × cos(1.36464827) × R
    0.00153397999999999 × 0.204691043119513 × 6371000     		du = 2000.44281745319m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36496202)-sin(1.36464827))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.204383926193747-0.204691043119513)×R²
    abs(-0.48780589--0.48933987)×0.000307116925765683×R²
    0.00153397999999999×0.000307116925765683×6371000²
    0.00153397999999999×0.000307116925765683×40589641000000     		ar = 3995687.88046777m²