Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1729 / 557
↖ ↑ ↗
← N 78.402537°
W 28.037109°		 ← 1 964.71 m → N 78.402537°
W 27.949219°		 →
↑
1 966.15 m
↓
↑
1 966.15 m
↓
N 78.384855°
W 28.037109°		 ← 1 967.66 m →
3 865 823 m²		 N 78.384855°
W 27.949219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1729 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 557 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4222412109375 y=0.1361083984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4222412109375 × 212)
    floor (0.4222412109375 × 4096)
    floor (1729.5)     		tx = 1729
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1361083984375 × 212)
    floor (0.1361083984375 × 4096)
    floor (557.5)     		ty = 557
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1729 / 557 ti = "12/1729/557"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1729/557.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1729 ÷ 212
    1729 ÷ 4096     		x = 0.422119140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 557 ÷ 212
    557 ÷ 4096     		y = 0.135986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.422119140625 × 2 - 1) × π
    -0.15576171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.48933987
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.135986328125 × 2 - 1) × π
    0.72802734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.28716535467212
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48933987} λ = -0.48933987}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28716535467212))-π/2
    2×atan(9.84698537137122)-π/2
    2×1.46958937398238-π/2
    2.93917874796477-1.57079632675     		φ = 1.36838242
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48933987} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.037109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36838242 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.402537°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1729 KachelY 557 -0.48933987 1.36838242 -28.037109 78.402537
    Oben rechts KachelX + 1 1730 KachelY 557 -0.48780589 1.36838242 -27.949219 78.402537
    Unten links KachelX 1729 KachelY + 1 558 -0.48933987 1.36807381 -28.037109 78.384855
    Unten rechts KachelX + 1 1730 KachelY + 1 558 -0.48780589 1.36807381 -27.949219 78.384855
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36838242-1.36807381) × R
    0.000308610000000042 × 6371000     		dl = 1966.15431000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36838242-1.36807381) × R
    0.000308610000000042 × 6371000     		dr = 1966.15431000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48933987--0.48780589) × cos(1.36838242) × R
    0.00153397999999999 × 0.201034539051758 × 6371000     		do = 1964.7078522693m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48933987--0.48780589) × cos(1.36807381) × R
    0.00153397999999999 × 0.201336838939343 × 6371000     		du = 1967.66222501381m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36838242)-sin(1.36807381))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.201034539051758-0.201336838939343)×R²
    abs(-0.48780589--0.48933987)×0.000302299887585455×R²
    0.00153397999999999×0.000302299887585455×6371000²
    0.00153397999999999×0.000302299887585455×40589641000000     		ar = 3865823.21866005m²