Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17288 / 18056
↖ ↑ ↗
← S 18.062312°
E  9.931641°		 ← 1 161.44 m → S 18.062312°
E  9.942627°		 →
↑
1 161.37 m
↓
↑
1 161.37 m
↓
S 18.072757°
E  9.931641°		 ← 1 161.37 m →
1 348 817 m²		 S 18.072757°
E  9.942627°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17288 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18056 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527603149414062 y=0.551040649414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527603149414062 × 215)
    floor (0.527603149414062 × 32768)
    floor (17288.5)     		tx = 17288
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.551040649414062 × 215)
    floor (0.551040649414062 × 32768)
    floor (18056.5)     		ty = 18056
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17288 / 18056 ti = "15/17288/18056"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17288/18056.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17288 ÷ 215
    17288 ÷ 32768     		x = 0.527587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18056 ÷ 215
    18056 ÷ 32768     		y = 0.551025390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.527587890625 × 2 - 1) × π
    0.05517578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.17333983
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.551025390625 × 2 - 1) × π
    -0.10205078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.320601984658936
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17333983} λ = 0.17333983}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.320601984658936))-π/2
    2×atan(0.725712038039826)-π/2
    2×0.627774753282892-π/2
    1.25554950656578-1.57079632675     		φ = -0.31524682
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17333983} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.931641°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.31524682 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.062312°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17288 KachelY 18056 0.17333983 -0.31524682 9.931641 -18.062312
    Oben rechts KachelX + 1 17289 KachelY 18056 0.17353158 -0.31524682 9.942627 -18.062312
    Unten links KachelX 17288 KachelY + 1 18057 0.17333983 -0.31542911 9.931641 -18.072757
    Unten rechts KachelX + 1 17289 KachelY + 1 18057 0.17353158 -0.31542911 9.942627 -18.072757
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.31524682--0.31542911) × R
    0.000182290000000029 × 6371000     		dl = 1161.36959000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.31524682--0.31542911) × R
    0.000182290000000029 × 6371000     		dr = 1161.36959000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17333983-0.17353158) × cos(-0.31524682) × R
    0.000191749999999991 × 0.95071988105209 × 6371000     		do = 1161.43672244851m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17333983-0.17353158) × cos(-0.31542911) × R
    0.000191749999999991 × 0.950663346034534 × 6371000     		du = 1161.36765705206m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.31524682)-sin(-0.31542911))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.95071988105209-0.950663346034534)×R²
    abs(0.17353158-0.17333983)×5.65350175562029e-05×R²
    0.000191749999999991×5.65350175562029e-05×6371000²
    0.000191749999999991×5.65350175562029e-05×40589641000000     		ar = 1348817.18867069m²