Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 17288 / 15129
↖ ↑ ↗
← N 79.800150°
W132.517090°		 ← 54.07 m → N 79.800150°
W132.514343°		 →
↑
54.03 m
↓
↑
54.03 m
↓
N 79.799664°
W132.517090°		 ← 54.08 m →
2 921 m²		 N 79.799664°
W132.514343°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17288 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15129 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.131900787353516 y=0.115428924560547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.131900787353516 × 217)
    floor (0.131900787353516 × 131072)
    floor (17288.5)     		tx = 17288
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.115428924560547 × 217)
    floor (0.115428924560547 × 131072)
    floor (15129.5)     		ty = 15129
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 17288 / 15129 ti = "17/17288/15129"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/17288/15129.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17288 ÷ 217
    17288 ÷ 131072     		x = 0.13189697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15129 ÷ 217
    15129 ÷ 131072     		y = 0.115425109863281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.13189697265625 × 2 - 1) × π
    -0.7362060546875 × 3.1415926535     		Λ = -2.31285953
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.115425109863281 × 2 - 1) × π
    0.769149780273438 × 3.1415926535     		Φ = 2.41635529914817
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.31285953} λ = -2.31285953}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41635529914817))-π/2
    2×atan(11.2049461253161)-π/2
    2×1.48178584538816-π/2
    2.96357169077632-1.57079632675     		φ = 1.39277536
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.31285953} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -132.517090°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39277536 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.800150°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17288 KachelY 15129 -2.31285953 1.39277536 -132.517090 79.800150
    Oben rechts KachelX + 1 17289 KachelY 15129 -2.31281160 1.39277536 -132.514343 79.800150
    Unten links KachelX 17288 KachelY + 1 15130 -2.31285953 1.39276688 -132.517090 79.799664
    Unten rechts KachelX + 1 17289 KachelY + 1 15130 -2.31281160 1.39276688 -132.514343 79.799664
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39277536-1.39276688) × R
    8.47999999997739e-06 × 6371000     		dl = 54.026079999856m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39277536-1.39276688) × R
    8.47999999997739e-06 × 6371000     		dr = 54.026079999856m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.31285953--2.31281160) × cos(1.39277536) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.1770821647691 × 6371000     		do = 54.07416931072m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.31285953--2.31281160) × cos(1.39276688) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.177090510745418 × 6371000     		du = 54.0767178549909m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39277536)-sin(1.39276688))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.1770821647691-0.177090510745418)×R²
    abs(-2.31281160--2.31285953)×8.34597631815814e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.34597631815814e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.34597631815814e-06×40589641000000     		ar = 2921.48424105957m²