Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 17283 / 8067
↖ ↑ ↗
← N 82.719921°
W132.530823°		 ← 38.70 m → N 82.719921°
W132.528076°		 →
↑
38.74 m
↓
↑
38.74 m
↓
N 82.719572°
W132.530823°		 ← 38.71 m →
1 499 m²		 N 82.719572°
W132.528076°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17283 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8067 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.131862640380859 y=0.0615501403808594 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.131862640380859 × 217)
    floor (0.131862640380859 × 131072)
    floor (17283.5)     		tx = 17283
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0615501403808594 × 217)
    floor (0.0615501403808594 × 131072)
    floor (8067.5)     		ty = 8067
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 17283 / 8067 ti = "17/17283/8067"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/17283/8067.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17283 ÷ 217
    17283 ÷ 131072     		x = 0.131858825683594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8067 ÷ 217
    8067 ÷ 131072     		y = 0.0615463256835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.131858825683594 × 2 - 1) × π
    -0.736282348632812 × 3.1415926535     		Λ = -2.31309922
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0615463256835938 × 2 - 1) × π
    0.876907348632812 × 3.1415926535     		Φ = 2.75488568426501
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.31309922} λ = -2.31309922}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.75488568426501))-π/2
    2×atan(15.719243843176)-π/2
    2×1.50726564647935-π/2
    3.01453129295871-1.57079632675     		φ = 1.44373497
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.31309922} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -132.530823°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44373497 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.719921°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17283 KachelY 8067 -2.31309922 1.44373497 -132.530823 82.719921
    Oben rechts KachelX + 1 17284 KachelY 8067 -2.31305128 1.44373497 -132.528076 82.719921
    Unten links KachelX 17283 KachelY + 1 8068 -2.31309922 1.44372889 -132.530823 82.719572
    Unten rechts KachelX + 1 17284 KachelY + 1 8068 -2.31305128 1.44372889 -132.528076 82.719572
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44373497-1.44372889) × R
    6.07999999990838e-06 × 6371000     		dl = 38.7356799994163m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44373497-1.44372889) × R
    6.07999999990838e-06 × 6371000     		dr = 38.7356799994163m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.31309922--2.31305128) × cos(1.44373497) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.126719740456656 × 6371000     		do = 38.7034705015568m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.31309922--2.31305128) × cos(1.44372889) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.12672577144076 × 6371000     		du = 38.7053125193397m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44373497)-sin(1.44372889))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.126719740456656-0.12672577144076)×R²
    abs(-2.31305128--2.31309922)×6.03098410423275e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.03098410423275e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.03098410423275e-06×40589641000000     		ar = 1499.2409242137m²