Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17282 / 11154
↖ ↑ ↗
← N 49.710273°
E  9.865722°		 ← 789.98 m → N 49.710273°
E  9.876709°		 →
↑
790 m
↓
↑
790 m
↓
N 49.703168°
E  9.865722°		 ← 790.09 m →
624 130 m²		 N 49.703168°
E  9.876709°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17282 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11154 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527420043945312 y=0.340408325195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527420043945312 × 215)
    floor (0.527420043945312 × 32768)
    floor (17282.5)     		tx = 17282
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340408325195312 × 215)
    floor (0.340408325195312 × 32768)
    floor (11154.5)     		ty = 11154
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17282 / 11154 ti = "15/17282/11154"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17282/11154.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17282 ÷ 215
    17282 ÷ 32768     		x = 0.52740478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11154 ÷ 215
    11154 ÷ 32768     		y = 0.34039306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52740478515625 × 2 - 1) × π
    0.0548095703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.17218934
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34039306640625 × 2 - 1) × π
    0.3192138671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.00283994005157
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17218934} λ = 0.17218934}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00283994005157))-π/2
    2×atan(2.72601255810367)-π/2
    2×1.21920212769898-π/2
    2.43840425539797-1.57079632675     		φ = 0.86760793
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17218934} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.865722°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86760793 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.710273°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17282 KachelY 11154 0.17218934 0.86760793 9.865722 49.710273
    Oben rechts KachelX + 1 17283 KachelY 11154 0.17238109 0.86760793 9.876709 49.710273
    Unten links KachelX 17282 KachelY + 1 11155 0.17218934 0.86748393 9.865722 49.703168
    Unten rechts KachelX + 1 17283 KachelY + 1 11155 0.17238109 0.86748393 9.876709 49.703168
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86760793-0.86748393) × R
    0.000124000000000013 × 6371000     		dl = 790.004000000083m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86760793-0.86748393) × R
    0.000124000000000013 × 6371000     		dr = 790.004000000083m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17218934-0.17238109) × cos(0.86760793) × R
    0.000191749999999991 × 0.646653028969264 × 6371000     		do = 789.976721320201m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17218934-0.17238109) × cos(0.86748393) × R
    0.000191749999999991 × 0.646747609248461 × 6371000     		du = 790.092264301544m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86760793)-sin(0.86748393))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.646653028969264-0.646747609248461)×R²
    abs(0.17238109-0.17218934)×9.45802791969541e-05×R²
    0.000191749999999991×9.45802791969541e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.45802791969541e-05×40589641000000     		ar = 624130.410258326m²