Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17276 / 18257
↖ ↑ ↗
← S 20.148785°
E  9.799805°		 ← 1 146.88 m → S 20.148785°
E  9.810791°		 →
↑
1 146.84 m
↓
↑
1 146.84 m
↓
S 20.159098°
E  9.799805°		 ← 1 146.80 m →
1 315 245 m²		 S 20.159098°
E  9.810791°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17276 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18257 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527236938476562 y=0.557174682617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527236938476562 × 215)
    floor (0.527236938476562 × 32768)
    floor (17276.5)     		tx = 17276
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.557174682617188 × 215)
    floor (0.557174682617188 × 32768)
    floor (18257.5)     		ty = 18257
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17276 / 18257 ti = "15/17276/18257"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17276/18257.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17276 ÷ 215
    17276 ÷ 32768     		x = 0.5272216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18257 ÷ 215
    18257 ÷ 32768     		y = 0.557159423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5272216796875 × 2 - 1) × π
    0.054443359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.17103886
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.557159423828125 × 2 - 1) × π
    -0.11431884765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.359143251953461
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17103886} λ = 0.17103886}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.359143251953461))-π/2
    2×atan(0.698274315026866)-π/2
    2×0.609566847349017-π/2
    1.21913369469803-1.57079632675     		φ = -0.35166263
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17103886} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.799805°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.35166263 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.148785°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17276 KachelY 18257 0.17103886 -0.35166263 9.799805 -20.148785
    Oben rechts KachelX + 1 17277 KachelY 18257 0.17123061 -0.35166263 9.810791 -20.148785
    Unten links KachelX 17276 KachelY + 1 18258 0.17103886 -0.35184264 9.799805 -20.159098
    Unten rechts KachelX + 1 17277 KachelY + 1 18258 0.17123061 -0.35184264 9.810791 -20.159098
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.35166263--0.35184264) × R
    0.000180010000000008 × 6371000     		dl = 1146.84371000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.35166263--0.35184264) × R
    0.000180010000000008 × 6371000     		dr = 1146.84371000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17103886-0.17123061) × cos(-0.35166263) × R
    0.000191750000000018 × 0.938801302556646 × 6371000     		do = 1146.87651915443m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17103886-0.17123061) × cos(-0.35184264) × R
    0.000191750000000018 × 0.93873928125295 × 6371000     		du = 1146.8007514955m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.35166263)-sin(-0.35184264))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.938801302556646-0.93873928125295)×R²
    abs(0.17123061-0.17103886)×6.2021303696147e-05×R²
    0.000191750000000018×6.2021303696147e-05×6371000²
    0.000191750000000018×6.2021303696147e-05×40589641000000     		ar = 1315244.67885932m²