Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 17274 / 14154
↖ ↑ ↗
← N 80.263615°
W132.555542°		 ← 51.65 m → N 80.263615°
W132.552795°		 →
↑
51.67 m
↓
↑
51.67 m
↓
N 80.263150°
W132.555542°		 ← 51.65 m →
2 669 m²		 N 80.263150°
W132.552795°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17274 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14154 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.131793975830078 y=0.107990264892578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.131793975830078 × 217)
    floor (0.131793975830078 × 131072)
    floor (17274.5)     		tx = 17274
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.107990264892578 × 217)
    floor (0.107990264892578 × 131072)
    floor (14154.5)     		ty = 14154
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 17274 / 14154 ti = "17/17274/14154"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/17274/14154.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17274 ÷ 217
    17274 ÷ 131072     		x = 0.131790161132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14154 ÷ 217
    14154 ÷ 131072     		y = 0.107986450195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.131790161132812 × 2 - 1) × π
    -0.736419677734375 × 3.1415926535     		Λ = -2.31353065
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.107986450195312 × 2 - 1) × π
    0.784027099609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.46309377627773
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.31353065} λ = -2.31353065}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46309377627773))-π/2
    2×atan(11.7410796820891)-π/2
    2×1.48583033885447-π/2
    2.97166067770895-1.57079632675     		φ = 1.40086435
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.31353065} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -132.555542°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40086435 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.263615°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17274 KachelY 14154 -2.31353065 1.40086435 -132.555542 80.263615
    Oben rechts KachelX + 1 17275 KachelY 14154 -2.31348271 1.40086435 -132.552795 80.263615
    Unten links KachelX 17274 KachelY + 1 14155 -2.31353065 1.40085624 -132.555542 80.263150
    Unten rechts KachelX + 1 17275 KachelY + 1 14155 -2.31348271 1.40085624 -132.552795 80.263150
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40086435-1.40085624) × R
    8.11000000000561e-06 × 6371000     		dl = 51.6688100000358m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40086435-1.40085624) × R
    8.11000000000561e-06 × 6371000     		dr = 51.6688100000358m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.31353065--2.31348271) × cos(1.40086435) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.169115306040885 × 6371000     		do = 51.6521674928299m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.31353065--2.31348271) × cos(1.40085624) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.169123299221097 × 6371000     		du = 51.6546088158111m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40086435)-sin(1.40085624))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169115306040885-0.169123299221097)×R²
    abs(-2.31348271--2.31353065)×7.99318021205142e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.99318021205142e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.99318021205142e-06×40589641000000     		ar = 2668.8690985769m²