Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17273 / 18259
↖ ↑ ↗
← S 20.169411°
E  9.766846°		 ← 1 146.67 m → S 20.169411°
E  9.777832°		 →
↑
1 146.72 m
↓
↑
1 146.72 m
↓
S 20.179724°
E  9.766846°		 ← 1 146.59 m →
1 314 856 m²		 S 20.179724°
E  9.777832°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17273 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18259 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527145385742188 y=0.557235717773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527145385742188 × 215)
    floor (0.527145385742188 × 32768)
    floor (17273.5)     		tx = 17273
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.557235717773438 × 215)
    floor (0.557235717773438 × 32768)
    floor (18259.5)     		ty = 18259
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17273 / 18259 ti = "15/17273/18259"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17273/18259.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17273 ÷ 215
    17273 ÷ 32768     		x = 0.527130126953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18259 ÷ 215
    18259 ÷ 32768     		y = 0.557220458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.527130126953125 × 2 - 1) × π
    0.05426025390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.17046362
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.557220458984375 × 2 - 1) × π
    -0.11444091796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.359526747150421
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17046362} λ = 0.17046362}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.359526747150421))-π/2
    2×atan(0.69800658152143)-π/2
    2×0.609386846347016-π/2
    1.21877369269403-1.57079632675     		φ = -0.35202263
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17046362} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.766846°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.35202263 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.169411°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17273 KachelY 18259 0.17046362 -0.35202263 9.766846 -20.169411
    Oben rechts KachelX + 1 17274 KachelY 18259 0.17065536 -0.35202263 9.777832 -20.169411
    Unten links KachelX 17273 KachelY + 1 18260 0.17046362 -0.35220262 9.766846 -20.179724
    Unten rechts KachelX + 1 17274 KachelY + 1 18260 0.17065536 -0.35220262 9.777832 -20.179724
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.35202263--0.35220262) × R
    0.000179990000000019 × 6371000     		dl = 1146.71629000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.35202263--0.35220262) × R
    0.000179990000000019 × 6371000     		dr = 1146.71629000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17046362-0.17065536) × cos(-0.35202263) × R
    0.000191739999999996 × 0.938677236426664 × 6371000     		do = 1146.66515197358m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17046362-0.17065536) × cos(-0.35220262) × R
    0.000191739999999996 × 0.938615161190615 × 6371000     		du = 1146.58932238359m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.35202263)-sin(-0.35220262))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.938677236426664-0.938615161190615)×R²
    abs(0.17065536-0.17046362)×6.2075236049286e-05×R²
    0.000191739999999996×6.2075236049286e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.2075236049286e-05×40589641000000     		ar = 1314856.13498031m²