Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 17272 / 8088
↖ ↑ ↗
← N 82.712608°
W132.561035°		 ← 38.73 m → N 82.712608°
W132.558289°		 →
↑
38.74 m
↓
↑
38.74 m
↓
N 82.712260°
W132.561035°		 ← 38.74 m →
1 500 m²		 N 82.712260°
W132.558289°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17272 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8088 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.131778717041016 y=0.0617103576660156 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.131778717041016 × 217)
    floor (0.131778717041016 × 131072)
    floor (17272.5)     		tx = 17272
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0617103576660156 × 217)
    floor (0.0617103576660156 × 131072)
    floor (8088.5)     		ty = 8088
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 17272 / 8088 ti = "17/17272/8088"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/17272/8088.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17272 ÷ 217
    17272 ÷ 131072     		x = 0.13177490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8088 ÷ 217
    8088 ÷ 131072     		y = 0.06170654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.13177490234375 × 2 - 1) × π
    -0.7364501953125 × 3.1415926535     		Λ = -2.31362652
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.06170654296875 × 2 - 1) × π
    0.8765869140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.75387900937299
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.31362652} λ = -2.31362652}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.75387900937299))-π/2
    2×atan(15.7034276373018)-π/2
    2×1.50720183183103-π/2
    3.01440366366205-1.57079632675     		φ = 1.44360734
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.31362652} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -132.561035°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44360734 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.712608°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17272 KachelY 8088 -2.31362652 1.44360734 -132.561035 82.712608
    Oben rechts KachelX + 1 17273 KachelY 8088 -2.31357859 1.44360734 -132.558289 82.712608
    Unten links KachelX 17272 KachelY + 1 8089 -2.31362652 1.44360126 -132.561035 82.712260
    Unten rechts KachelX + 1 17273 KachelY + 1 8089 -2.31357859 1.44360126 -132.558289 82.712260
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44360734-1.44360126) × R
    6.07999999990838e-06 × 6371000     		dl = 38.7356799994163m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44360734-1.44360126) × R
    6.07999999990838e-06 × 6371000     		dr = 38.7356799994163m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.31362652--2.31357859) × cos(1.44360734) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.126846340542666 × 6371000     		do = 38.7340560462035m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.31362652--2.31357859) × cos(1.44360126) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.126852371428386 × 6371000     		du = 38.7358976497095m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44360734)-sin(1.44360126))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.126846340542666-0.126852371428386)×R²
    abs(-2.31357859--2.31362652)×6.0308857194602e-06×R²
    4.79300000000293e-05×6.0308857194602e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×6.0308857194602e-06×40589641000000     		ar = 1500.42566795551m²