Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17271 / 18255
↖ ↑ ↗
← S 20.128155°
E  9.744873°		 ← 1 147.03 m → S 20.128155°
E  9.755860°		 →
↑
1 146.97 m
↓
↑
1 146.97 m
↓
S 20.138470°
E  9.744873°		 ← 1 146.95 m →
1 315 565 m²		 S 20.138470°
E  9.755860°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17271 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18255 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527084350585938 y=0.557113647460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527084350585938 × 215)
    floor (0.527084350585938 × 32768)
    floor (17271.5)     		tx = 17271
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.557113647460938 × 215)
    floor (0.557113647460938 × 32768)
    floor (18255.5)     		ty = 18255
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17271 / 18255 ti = "15/17271/18255"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17271/18255.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17271 ÷ 215
    17271 ÷ 32768     		x = 0.527069091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18255 ÷ 215
    18255 ÷ 32768     		y = 0.557098388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.527069091796875 × 2 - 1) × π
    0.05413818359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.17008012
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.557098388671875 × 2 - 1) × π
    -0.11419677734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.3587597567565
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17008012} λ = 0.17008012}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.3587597567565))-π/2
    2×atan(0.698542151226505)-π/2
    2×0.609746872130439-π/2
    1.21949374426088-1.57079632675     		φ = -0.35130258
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17008012} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.744873°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.35130258 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.128155°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17271 KachelY 18255 0.17008012 -0.35130258 9.744873 -20.128155
    Oben rechts KachelX + 1 17272 KachelY 18255 0.17027187 -0.35130258 9.755860 -20.128155
    Unten links KachelX 17271 KachelY + 1 18256 0.17008012 -0.35148261 9.744873 -20.138470
    Unten rechts KachelX + 1 17272 KachelY + 1 18256 0.17027187 -0.35148261 9.755860 -20.138470
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.35130258--0.35148261) × R
    0.000180029999999998 × 6371000     		dl = 1146.97112999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.35130258--0.35148261) × R
    0.000180029999999998 × 6371000     		dr = 1146.97112999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17008012-0.17027187) × cos(-0.35130258) × R
    0.000191749999999991 × 0.938925264224038 × 6371000     		do = 1147.02795559265m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17008012-0.17027187) × cos(-0.35148261) × R
    0.000191749999999991 × 0.938863296882702 × 6371000     		du = 1146.95225385625m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.35130258)-sin(-0.35148261))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.938925264224038-0.938863296882702)×R²
    abs(0.17027187-0.17008012)×6.19673413361221e-05×R²
    0.000191749999999991×6.19673413361221e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.19673413361221e-05×40589641000000     		ar = 1315564.54006779m²