Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1727 / 575
↖ ↑ ↗
← N 82.314772°
W104.106445°		 ← 653.47 m → N 82.314772°
W104.062500°		 →
↑
653.73 m
↓
↑
653.73 m
↓
N 82.308893°
W104.106445°		 ← 653.97 m →
427 357 m²		 N 82.308893°
W104.062500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1727 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 575 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.21087646484375 y=0.07025146484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.21087646484375 × 213)
    floor (0.21087646484375 × 8192)
    floor (1727.5)     		tx = 1727
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.07025146484375 × 213)
    floor (0.07025146484375 × 8192)
    floor (575.5)     		ty = 575
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1727 / 575 ti = "13/1727/575"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1727/575.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1727 ÷ 213
    1727 ÷ 8192     		x = 0.2108154296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 575 ÷ 213
    575 ÷ 8192     		y = 0.0701904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2108154296875 × 2 - 1) × π
    -0.578369140625 × 3.1415926535     		Λ = -1.81700024
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0701904296875 × 2 - 1) × π
    0.859619140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.70057317699548
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.81700024} λ = -1.81700024}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.70057317699548))-π/2
    2×atan(14.8882628894966)-π/2
    2×1.50373005702291-π/2
    3.00746011404581-1.57079632675     		φ = 1.43666379
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.81700024} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -104.106445°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43666379 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.314772°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1727 KachelY 575 -1.81700024 1.43666379 -104.106445 82.314772
    Oben rechts KachelX + 1 1728 KachelY 575 -1.81623325 1.43666379 -104.062500 82.314772
    Unten links KachelX 1727 KachelY + 1 576 -1.81700024 1.43656118 -104.106445 82.308893
    Unten rechts KachelX + 1 1728 KachelY + 1 576 -1.81623325 1.43656118 -104.062500 82.308893
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43666379-1.43656118) × R
    0.000102610000000114 × 6371000     		dl = 653.728310000726m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43666379-1.43656118) × R
    0.000102610000000114 × 6371000     		dr = 653.728310000726m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.81700024--1.81623325) × cos(1.43666379) × R
    0.000766990000000023 × 0.133730690031353 × 6371000     		do = 653.474119505296m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.81700024--1.81623325) × cos(1.43656118) × R
    0.000766990000000023 × 0.133832377654437 × 6371000     		du = 653.971015393174m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43666379)-sin(1.43656118))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.133730690031353-0.133832377654437)×R²
    abs(-1.81623325--1.81700024)×0.000101687623084407×R²
    0.000766990000000023×0.000101687623084407×6371000²
    0.000766990000000023×0.000101687623084407×40589641000000     		ar = 427356.949600336m²