Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 17269 / 18272
↖ ↑ ↗
← S 20.303418°
E  9.722900°		 ← 1 145.74 m → S 20.303418°
E  9.733887°		 →
↑
1 145.63 m
↓
↑
1 145.63 m
↓
S 20.313721°
E  9.722900°		 ← 1 145.66 m →
1 312 550 m²		 S 20.313721°
E  9.733887°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17269 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18272 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527023315429688 y=0.557632446289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527023315429688 × 215)
    floor (0.527023315429688 × 32768)
    floor (17269.5)     		tx = 17269
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.557632446289062 × 215)
    floor (0.557632446289062 × 32768)
    floor (18272.5)     		ty = 18272
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17269 / 18272 ti = "15/17269/18272"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17269/18272.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17269 ÷ 215
    17269 ÷ 32768     		x = 0.527008056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18272 ÷ 215
    18272 ÷ 32768     		y = 0.5576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.527008056640625 × 2 - 1) × π
    0.05401611328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.16969662
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5576171875 × 2 - 1) × π
    -0.115234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.362019465930664
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16969662} λ = 0.16969662}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.362019465930664))-π/2
    2×atan(0.696268814189394)-π/2
    2×0.608217420849933-π/2
    1.21643484169987-1.57079632675     		φ = -0.35436149
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16969662} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.722900°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.35436149 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.303418°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17269 KachelY 18272 0.16969662 -0.35436149 9.722900 -20.303418
    Oben rechts KachelX + 1 17270 KachelY 18272 0.16988837 -0.35436149 9.733887 -20.303418
    Unten links KachelX 17269 KachelY + 1 18273 0.16969662 -0.35454131 9.722900 -20.313721
    Unten rechts KachelX + 1 17270 KachelY + 1 18273 0.16988837 -0.35454131 9.733887 -20.313721
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.35436149--0.35454131) × R
    0.000179819999999997 × 6371000     		dl = 1145.63321999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.35436149--0.35454131) × R
    0.000179819999999997 × 6371000     		dr = 1145.63321999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16969662-0.16988837) × cos(-0.35436149) × R
    0.000191750000000018 × 0.93786823759148 × 6371000     		do = 1145.73665037019m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16969662-0.16988837) × cos(-0.35454131) × R
    0.000191750000000018 × 0.937805826399613 × 6371000     		du = 1145.66040640856m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.35436149)-sin(-0.35454131))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.93786823759148-0.937805826399613)×R²
    abs(0.16988837-0.16969662)×6.24111918667847e-05×R²
    0.000191750000000018×6.24111918667847e-05×6371000²
    0.000191750000000018×6.24111918667847e-05×40589641000000     		ar = 1312550.29776492m²