Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17269 / 11053
↖ ↑ ↗
← N 50.422519°
E  9.722900°		 ← 778.33 m → N 50.422519°
E  9.733887°		 →
↑
778.35 m
↓
↑
778.35 m
↓
N 50.415519°
E  9.722900°		 ← 778.45 m →
605 856 m²		 N 50.415519°
E  9.733887°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17269 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11053 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527023315429688 y=0.337326049804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527023315429688 × 215)
    floor (0.527023315429688 × 32768)
    floor (17269.5)     		tx = 17269
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337326049804688 × 215)
    floor (0.337326049804688 × 32768)
    floor (11053.5)     		ty = 11053
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17269 / 11053 ti = "15/17269/11053"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17269/11053.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17269 ÷ 215
    17269 ÷ 32768     		x = 0.527008056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11053 ÷ 215
    11053 ÷ 32768     		y = 0.337310791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.527008056640625 × 2 - 1) × π
    0.05401611328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.16969662
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.337310791015625 × 2 - 1) × π
    0.32537841796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.02220644749808
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16969662} λ = 0.16969662}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02220644749808))-π/2
    2×atan(2.7793204281059)-π/2
    2×1.22541764886618-π/2
    2.45083529773236-1.57079632675     		φ = 0.88003897
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16969662} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.722900°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88003897 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.422519°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17269 KachelY 11053 0.16969662 0.88003897 9.722900 50.422519
    Oben rechts KachelX + 1 17270 KachelY 11053 0.16988837 0.88003897 9.733887 50.422519
    Unten links KachelX 17269 KachelY + 1 11054 0.16969662 0.87991680 9.722900 50.415519
    Unten rechts KachelX + 1 17270 KachelY + 1 11054 0.16988837 0.87991680 9.733887 50.415519
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88003897-0.87991680) × R
    0.000122169999999922 × 6371000     		dl = 778.3450699995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88003897-0.87991680) × R
    0.000122169999999922 × 6371000     		dr = 778.3450699995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16969662-0.16988837) × cos(0.88003897) × R
    0.000191750000000018 × 0.637121108020669 × 6371000     		do = 778.332152561613m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16969662-0.16988837) × cos(0.87991680) × R
    0.000191750000000018 × 0.637215267467974 × 6371000     		du = 778.447181438199m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88003897)-sin(0.87991680))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.637121108020669-0.637215267467974)×R²
    abs(0.16988837-0.16969662)×9.41594473050644e-05×R²
    0.000191750000000018×9.41594473050644e-05×6371000²
    0.000191750000000018×9.41594473050644e-05×40589641000000     		ar = 605855.76060145m²