Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17266 / 17330
↖ ↑ ↗
← S 10.336536°
E  9.689941°		 ← 1 201.81 m → S 10.336536°
E  9.700928°		 →
↑
1 201.76 m
↓
↑
1 201.76 m
↓
S 10.347344°
E  9.689941°		 ← 1 201.77 m →
1 444 268 m²		 S 10.347344°
E  9.700928°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17266 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17330 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.526931762695312 y=0.528884887695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.526931762695312 × 215)
    floor (0.526931762695312 × 32768)
    floor (17266.5)     		tx = 17266
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.528884887695312 × 215)
    floor (0.528884887695312 × 32768)
    floor (17330.5)     		ty = 17330
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17266 / 17330 ti = "15/17266/17330"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17266/17330.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17266 ÷ 215
    17266 ÷ 32768     		x = 0.52691650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17330 ÷ 215
    17330 ÷ 32768     		y = 0.52886962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52691650390625 × 2 - 1) × π
    0.0538330078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.16912138
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52886962890625 × 2 - 1) × π
    -0.0577392578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.181393228162292
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16912138} λ = 0.16912138}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.181393228162292))-π/2
    2×atan(0.834107299718379)-π/2
    2×0.695194869414594-π/2
    1.39038973882919-1.57079632675     		φ = -0.18040659
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16912138} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.689941°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18040659 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.336536°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17266 KachelY 17330 0.16912138 -0.18040659 9.689941 -10.336536
    Oben rechts KachelX + 1 17267 KachelY 17330 0.16931313 -0.18040659 9.700928 -10.336536
    Unten links KachelX 17266 KachelY + 1 17331 0.16912138 -0.18059522 9.689941 -10.347344
    Unten rechts KachelX + 1 17267 KachelY + 1 17331 0.16931313 -0.18059522 9.700928 -10.347344
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18040659--0.18059522) × R
    0.000188629999999995 × 6371000     		dl = 1201.76172999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18040659--0.18059522) × R
    0.000188629999999995 × 6371000     		dr = 1201.76172999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16912138-0.16931313) × cos(-0.18040659) × R
    0.000191750000000018 × 0.983770819833598 × 6371000     		do = 1201.81304651352m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16912138-0.16931313) × cos(-0.18059522) × R
    0.000191750000000018 × 0.983736956530284 × 6371000     		du = 1201.77167777305m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18040659)-sin(-0.18059522))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983770819833598-0.983736956530284)×R²
    abs(0.16931313-0.16912138)×3.3863303314563e-05×R²
    0.000191750000000018×3.3863303314563e-05×6371000²
    0.000191750000000018×3.3863303314563e-05×40589641000000     		ar = 1444268.07251241m²