Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 17264 / 11027
↖ ↑ ↗
← N 50.604160°
E  9.667969°		 ← 775.30 m → N 50.604160°
E  9.678955°		 →
↑
775.41 m
↓
↑
775.41 m
↓
N 50.597186°
E  9.667969°		 ← 775.42 m →
601 225 m²		 N 50.597186°
E  9.678955°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17264 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11027 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.526870727539062 y=0.336532592773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.526870727539062 × 215)
    floor (0.526870727539062 × 32768)
    floor (17264.5)     		tx = 17264
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336532592773438 × 215)
    floor (0.336532592773438 × 32768)
    floor (11027.5)     		ty = 11027
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17264 / 11027 ti = "15/17264/11027"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17264/11027.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17264 ÷ 215
    17264 ÷ 32768     		x = 0.52685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11027 ÷ 215
    11027 ÷ 32768     		y = 0.336517333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52685546875 × 2 - 1) × π
    0.0537109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.16873789
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.336517333984375 × 2 - 1) × π
    0.32696533203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.02719188505856
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16873789} λ = 0.16873789}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02719188505856))-π/2
    2×atan(2.7932111534621)-π/2
    2×1.22700276252799-π/2
    2.45400552505598-1.57079632675     		φ = 0.88320920
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16873789} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.667969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88320920 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.604160°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17264 KachelY 11027 0.16873789 0.88320920 9.667969 50.604160
    Oben rechts KachelX + 1 17265 KachelY 11027 0.16892963 0.88320920 9.678955 50.604160
    Unten links KachelX 17264 KachelY + 1 11028 0.16873789 0.88308749 9.667969 50.597186
    Unten rechts KachelX + 1 17265 KachelY + 1 11028 0.16892963 0.88308749 9.678955 50.597186
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88320920-0.88308749) × R
    0.000121710000000053 × 6371000     		dl = 775.414410000335m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88320920-0.88308749) × R
    0.000121710000000053 × 6371000     		dr = 775.414410000335m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16873789-0.16892963) × cos(0.88320920) × R
    0.000191739999999996 × 0.63467441223835 × 6371000     		do = 775.302737854229m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16873789-0.16892963) × cos(0.88308749) × R
    0.000191739999999996 × 0.634768462548737 × 6371000     		du = 775.417627412926m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88320920)-sin(0.88308749))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.63467441223835-0.634768462548737)×R²
    abs(0.16892963-0.16873789)×9.40503103863399e-05×R²
    0.000191739999999996×9.40503103863399e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.40503103863399e-05×40589641000000     		ar = 601225.459296482m²