Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 17262 / 18269
↖ ↑ ↗
← S 20.272503°
E  9.645996°		 ← 1 145.97 m → S 20.272503°
E  9.656982°		 →
↑
1 145.89 m
↓
↑
1 145.89 m
↓
S 20.282809°
E  9.645996°		 ← 1 145.89 m →
1 313 104 m²		 S 20.282809°
E  9.656982°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17262 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18269 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.526809692382812 y=0.557540893554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.526809692382812 × 215)
    floor (0.526809692382812 × 32768)
    floor (17262.5)     		tx = 17262
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.557540893554688 × 215)
    floor (0.557540893554688 × 32768)
    floor (18269.5)     		ty = 18269
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17262 / 18269 ti = "15/17262/18269"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17262/18269.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17262 ÷ 215
    17262 ÷ 32768     		x = 0.52679443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18269 ÷ 215
    18269 ÷ 32768     		y = 0.557525634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52679443359375 × 2 - 1) × π
    0.0535888671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.16835439
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.557525634765625 × 2 - 1) × π
    -0.11505126953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.361444223135223
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16835439} λ = 0.16835439}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.361444223135223))-π/2
    2×atan(0.696669453029702)-π/2
    2×0.608487198734241-π/2
    1.21697439746848-1.57079632675     		φ = -0.35382193
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16835439} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.645996°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.35382193 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.272503°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17262 KachelY 18269 0.16835439 -0.35382193 9.645996 -20.272503
    Oben rechts KachelX + 1 17263 KachelY 18269 0.16854614 -0.35382193 9.656982 -20.272503
    Unten links KachelX 17262 KachelY + 1 18270 0.16835439 -0.35400179 9.645996 -20.282809
    Unten rechts KachelX + 1 17263 KachelY + 1 18270 0.16854614 -0.35400179 9.656982 -20.282809
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.35382193--0.35400179) × R
    0.000179859999999976 × 6371000     		dl = 1145.88805999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.35382193--0.35400179) × R
    0.000179859999999976 × 6371000     		dr = 1145.88805999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16835439-0.16854614) × cos(-0.35382193) × R
    0.000191750000000018 × 0.938055323850445 × 6371000     		do = 1145.96520228727m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16835439-0.16854614) × cos(-0.35400179) × R
    0.000191750000000018 × 0.93799298979389 × 6371000     		du = 1145.88905255717m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.35382193)-sin(-0.35400179))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.938055323850445-0.93799298979389)×R²
    abs(0.16854614-0.16835439)×6.23340565552022e-05×R²
    0.000191750000000018×6.23340565552022e-05×6371000²
    0.000191750000000018×6.23340565552022e-05×40589641000000     		ar = 1313104.21648272m²