Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17260 / 18270
↖ ↑ ↗
← S 20.282809°
E  9.624024°		 ← 1 145.83 m → S 20.282809°
E  9.635010°		 →
↑
1 145.89 m
↓
↑
1 145.89 m
↓
S 20.293114°
E  9.624024°		 ← 1 145.75 m →
1 312 948 m²		 S 20.293114°
E  9.635010°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17260 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18270 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.526748657226562 y=0.557571411132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.526748657226562 × 215)
    floor (0.526748657226562 × 32768)
    floor (17260.5)     		tx = 17260
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.557571411132812 × 215)
    floor (0.557571411132812 × 32768)
    floor (18270.5)     		ty = 18270
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17260 / 18270 ti = "15/17260/18270"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17260/18270.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17260 ÷ 215
    17260 ÷ 32768     		x = 0.5267333984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18270 ÷ 215
    18270 ÷ 32768     		y = 0.55755615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5267333984375 × 2 - 1) × π
    0.053466796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.16797090
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.55755615234375 × 2 - 1) × π
    -0.1151123046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.361635970733704
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16797090} λ = 0.16797090}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.361635970733704))-π/2
    2×atan(0.696535881141602)-π/2
    2×0.60839726679438-π/2
    1.21679453358876-1.57079632675     		φ = -0.35400179
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16797090} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.624024°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.35400179 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.282809°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17260 KachelY 18270 0.16797090 -0.35400179 9.624024 -20.282809
    Oben rechts KachelX + 1 17261 KachelY 18270 0.16816264 -0.35400179 9.635010 -20.282809
    Unten links KachelX 17260 KachelY + 1 18271 0.16797090 -0.35418165 9.624024 -20.293114
    Unten rechts KachelX + 1 17261 KachelY + 1 18271 0.16816264 -0.35418165 9.635010 -20.293114
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.35400179--0.35418165) × R
    0.000179860000000032 × 6371000     		dl = 1145.8880600002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.35400179--0.35418165) × R
    0.000179860000000032 × 6371000     		dr = 1145.8880600002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16797090-0.16816264) × cos(-0.35400179) × R
    0.000191739999999996 × 0.93799298979389 × 6371000     		do = 1145.82929302366m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16797090-0.16816264) × cos(-0.35418165) × R
    0.000191739999999996 × 0.937930625393618 × 6371000     		du = 1145.75311019772m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.35400179)-sin(-0.35418165))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.93799298979389-0.937930625393618)×R²
    abs(0.16816264-0.16797090)×6.23644002715196e-05×R²
    0.000191739999999996×6.23644002715196e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.23644002715196e-05×40589641000000     		ar = 1312948.4607184m²