Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17259 / 18267
↖ ↑ ↗
← S 20.251891°
E  9.613037°		 ← 1 146.12 m → S 20.251891°
E  9.624024°		 →
↑
1 146.02 m
↓
↑
1 146.02 m
↓
S 20.262197°
E  9.613037°		 ← 1 146.04 m →
1 313 425 m²		 S 20.262197°
E  9.624024°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17259 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18267 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.526718139648438 y=0.557479858398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.526718139648438 × 215)
    floor (0.526718139648438 × 32768)
    floor (17259.5)     		tx = 17259
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.557479858398438 × 215)
    floor (0.557479858398438 × 32768)
    floor (18267.5)     		ty = 18267
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17259 / 18267 ti = "15/17259/18267"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17259/18267.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17259 ÷ 215
    17259 ÷ 32768     		x = 0.526702880859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18267 ÷ 215
    18267 ÷ 32768     		y = 0.557464599609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.526702880859375 × 2 - 1) × π
    0.05340576171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.16777915
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.557464599609375 × 2 - 1) × π
    -0.11492919921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.361060727938263
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16777915} λ = 0.16777915}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.361060727938263))-π/2
    2×atan(0.696936673654446)-π/2
    2×0.608667080536676-π/2
    1.21733416107335-1.57079632675     		φ = -0.35346217
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16777915} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.613037°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.35346217 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.251891°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17259 KachelY 18267 0.16777915 -0.35346217 9.613037 -20.251891
    Oben rechts KachelX + 1 17260 KachelY 18267 0.16797090 -0.35346217 9.624024 -20.251891
    Unten links KachelX 17259 KachelY + 1 18268 0.16777915 -0.35364205 9.613037 -20.262197
    Unten rechts KachelX + 1 17260 KachelY + 1 18268 0.16797090 -0.35364205 9.624024 -20.262197
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.35346217--0.35364205) × R
    0.000179879999999966 × 6371000     		dl = 1146.01547999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.35346217--0.35364205) × R
    0.000179879999999966 × 6371000     		dr = 1146.01547999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16777915-0.16797090) × cos(-0.35346217) × R
    0.000191750000000018 × 0.938179914770263 × 6371000     		do = 1146.11740744512m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16777915-0.16797090) × cos(-0.35364205) × R
    0.000191750000000018 × 0.938117634487603 × 6371000     		du = 1146.04132340732m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.35346217)-sin(-0.35364205))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.938179914770263-0.938117634487603)×R²
    abs(0.16797090-0.16777915)×6.22802826598656e-05×R²
    0.000191750000000018×6.22802826598656e-05×6371000²
    0.000191750000000018×6.22802826598656e-05×40589641000000     		ar = 1313424.69762803m²