Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 17255 / 18137
↖ ↑ ↗
← S 18.906287°
E  9.569092°		 ← 1 155.73 m → S 18.906287°
E  9.580078°		 →
↑
1 155.70 m
↓
↑
1 155.70 m
↓
S 18.916680°
E  9.569092°		 ← 1 155.66 m →
1 335 637 m²		 S 18.916680°
E  9.580078°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17255 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18137 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.526596069335938 y=0.553512573242188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.526596069335938 × 215)
    floor (0.526596069335938 × 32768)
    floor (17255.5)     		tx = 17255
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.553512573242188 × 215)
    floor (0.553512573242188 × 32768)
    floor (18137.5)     		ty = 18137
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17255 / 18137 ti = "15/17255/18137"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17255/18137.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17255 ÷ 215
    17255 ÷ 32768     		x = 0.526580810546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18137 ÷ 215
    18137 ÷ 32768     		y = 0.553497314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.526580810546875 × 2 - 1) × π
    0.05316162109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.16701216
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.553497314453125 × 2 - 1) × π
    -0.10699462890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.336133540135834
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16701216} λ = 0.16701216}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.336133540135834))-π/2
    2×atan(0.714527681321079)-π/2
    2×0.620409689062499-π/2
    1.240819378125-1.57079632675     		φ = -0.32997695
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16701216} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.569092°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.32997695 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.906287°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17255 KachelY 18137 0.16701216 -0.32997695 9.569092 -18.906287
    Oben rechts KachelX + 1 17256 KachelY 18137 0.16720391 -0.32997695 9.580078 -18.906287
    Unten links KachelX 17255 KachelY + 1 18138 0.16701216 -0.33015835 9.569092 -18.916680
    Unten rechts KachelX + 1 17256 KachelY + 1 18138 0.16720391 -0.33015835 9.580078 -18.916680
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.32997695--0.33015835) × R
    0.000181399999999998 × 6371000     		dl = 1155.69939999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.32997695--0.33015835) × R
    0.000181399999999998 × 6371000     		dr = 1155.69939999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16701216-0.16720391) × cos(-0.32997695) × R
    0.000191750000000018 × 0.946049812468873 × 6371000     		do = 1155.73158336723m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16701216-0.16720391) × cos(-0.33015835) × R
    0.000191750000000018 × 0.945991019454181 × 6371000     		du = 1155.65975951285m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.32997695)-sin(-0.33015835))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.946049812468873-0.945991019454181)×R²
    abs(0.16720391-0.16701216)×5.8793014692915e-05×R²
    0.000191750000000018×5.8793014692915e-05×6371000²
    0.000191750000000018×5.8793014692915e-05×40589641000000     		ar = 1335636.79772815m²