Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 17254 / 18138
↖ ↑ ↗
← S 18.916680°
E  9.558105°		 ← 1 155.66 m → S 18.916680°
E  9.569092°		 →
↑
1 155.57 m
↓
↑
1 155.57 m
↓
S 18.927072°
E  9.558105°		 ← 1 155.59 m →
1 335 407 m²		 S 18.927072°
E  9.569092°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17254 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18138 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.526565551757812 y=0.553543090820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.526565551757812 × 215)
    floor (0.526565551757812 × 32768)
    floor (17254.5)     		tx = 17254
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.553543090820312 × 215)
    floor (0.553543090820312 × 32768)
    floor (18138.5)     		ty = 18138
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17254 / 18138 ti = "15/17254/18138"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17254/18138.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17254 ÷ 215
    17254 ÷ 32768     		x = 0.52655029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18138 ÷ 215
    18138 ÷ 32768     		y = 0.55352783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52655029296875 × 2 - 1) × π
    0.0531005859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.16682041
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.55352783203125 × 2 - 1) × π
    -0.1070556640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.336325287734314
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16682041} λ = 0.16682041}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.336325287734314))-π/2
    2×atan(0.714390685488868)-π/2
    2×0.620318990490757-π/2
    1.24063798098151-1.57079632675     		φ = -0.33015835
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16682041} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.558105°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33015835 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.916680°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17254 KachelY 18138 0.16682041 -0.33015835 9.558105 -18.916680
    Oben rechts KachelX + 1 17255 KachelY 18138 0.16701216 -0.33015835 9.569092 -18.916680
    Unten links KachelX 17254 KachelY + 1 18139 0.16682041 -0.33033973 9.558105 -18.927072
    Unten rechts KachelX + 1 17255 KachelY + 1 18139 0.16701216 -0.33033973 9.569092 -18.927072
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33015835--0.33033973) × R
    0.000181380000000009 × 6371000     		dl = 1155.57198000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33015835--0.33033973) × R
    0.000181380000000009 × 6371000     		dr = 1155.57198000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16682041-0.16701216) × cos(-0.33015835) × R
    0.000191749999999991 × 0.945991019454181 × 6371000     		do = 1155.65975951268m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16682041-0.16701216) × cos(-0.33033973) × R
    0.000191749999999991 × 0.945932201798033 × 6371000     		du = 1155.58790555534m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33015835)-sin(-0.33033973))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.945991019454181-0.945932201798033)×R²
    abs(0.16701216-0.16682041)×5.88176561472364e-05×R²
    0.000191749999999991×5.88176561472364e-05×6371000²
    0.000191749999999991×5.88176561472364e-05×40589641000000     		ar = 1335406.52395788m²