Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 17249 / 14689
↖ ↑ ↗
← N 80.011947°
W132.624206°		 ← 52.96 m → N 80.011947°
W132.621460°		 →
↑
52.94 m
↓
↑
52.94 m
↓
N 80.011471°
W132.624206°		 ← 52.97 m →
2 804 m²		 N 80.011471°
W132.621460°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17249 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14689 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.131603240966797 y=0.112071990966797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.131603240966797 × 217)
    floor (0.131603240966797 × 131072)
    floor (17249.5)     		tx = 17249
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112071990966797 × 217)
    floor (0.112071990966797 × 131072)
    floor (14689.5)     		ty = 14689
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 17249 / 14689 ti = "17/17249/14689"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/17249/14689.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17249 ÷ 217
    17249 ÷ 131072     		x = 0.131599426269531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14689 ÷ 217
    14689 ÷ 131072     		y = 0.112068176269531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.131599426269531 × 2 - 1) × π
    -0.736801147460938 × 3.1415926535     		Λ = -2.31472907
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.112068176269531 × 2 - 1) × π
    0.775863647460938 × 3.1415926535     		Φ = 2.437447534981
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.31472907} λ = -2.31472907}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.437447534981))-π/2
    2×atan(11.4437935497348)-π/2
    2×1.48363412001915-π/2
    2.96726824003829-1.57079632675     		φ = 1.39647191
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.31472907} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -132.624206°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39647191 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.011947°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17249 KachelY 14689 -2.31472907 1.39647191 -132.624206 80.011947
    Oben rechts KachelX + 1 17250 KachelY 14689 -2.31468114 1.39647191 -132.621460 80.011947
    Unten links KachelX 17249 KachelY + 1 14690 -2.31472907 1.39646360 -132.624206 80.011471
    Unten rechts KachelX + 1 17250 KachelY + 1 14690 -2.31468114 1.39646360 -132.621460 80.011471
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39647191-1.39646360) × R
    8.31000000012239e-06 × 6371000     		dl = 52.9430100007797m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39647191-1.39646360) × R
    8.31000000012239e-06 × 6371000     		dr = 52.9430100007797m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.31472907--2.31468114) × cos(1.39647191) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.17344283320032 × 6371000     		do = 52.9628556350335m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.31472907--2.31468114) × cos(1.39646360) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.173451017247462 × 6371000     		du = 52.9653547322824m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39647191)-sin(1.39646360))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.17344283320032-0.173451017247462)×R²
    abs(-2.31468114--2.31472907)×8.18404714203469e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.18404714203469e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.18404714203469e-06×40589641000000     		ar = 2804.0791504334m²