Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17246 / 18222
↖ ↑ ↗
← S 19.787380°
E  9.470215°		 ← 1 149.51 m → S 19.787380°
E  9.481201°		 →
↑
1 149.46 m
↓
↑
1 149.46 m
↓
S 19.797717°
E  9.470215°		 ← 1 149.43 m →
1 321 266 m²		 S 19.797717°
E  9.481201°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17246 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18222 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.526321411132812 y=0.556106567382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.526321411132812 × 215)
    floor (0.526321411132812 × 32768)
    floor (17246.5)     		tx = 17246
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.556106567382812 × 215)
    floor (0.556106567382812 × 32768)
    floor (18222.5)     		ty = 18222
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17246 / 18222 ti = "15/17246/18222"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17246/18222.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17246 ÷ 215
    17246 ÷ 32768     		x = 0.52630615234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18222 ÷ 215
    18222 ÷ 32768     		y = 0.55609130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52630615234375 × 2 - 1) × π
    0.0526123046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.16528643
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.55609130859375 × 2 - 1) × π
    -0.1121826171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.352432086006653
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16528643} λ = 0.16528643}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.352432086006653))-π/2
    2×atan(0.702976310118031)-π/2
    2×0.61272069614242-π/2
    1.22544139228484-1.57079632675     		φ = -0.34535493
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16528643} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.470215°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.34535493 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.787380°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17246 KachelY 18222 0.16528643 -0.34535493 9.470215 -19.787380
    Oben rechts KachelX + 1 17247 KachelY 18222 0.16547818 -0.34535493 9.481201 -19.787380
    Unten links KachelX 17246 KachelY + 1 18223 0.16528643 -0.34553535 9.470215 -19.797717
    Unten rechts KachelX + 1 17247 KachelY + 1 18223 0.16547818 -0.34553535 9.481201 -19.797717
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.34535493--0.34553535) × R
    0.000180420000000014 × 6371000     		dl = 1149.45582000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.34535493--0.34553535) × R
    0.000180420000000014 × 6371000     		dr = 1149.45582000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16528643-0.16547818) × cos(-0.34535493) × R
    0.000191749999999991 × 0.940955357186245 × 6371000     		do = 1149.50799683643m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16528643-0.16547818) × cos(-0.34553535) × R
    0.000191749999999991 × 0.940894264168065 × 6371000     		du = 1149.43336320752m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.34535493)-sin(-0.34553535))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.940955357186245-0.940894264168065)×R²
    abs(0.16547818-0.16528643)×6.1093018179581e-05×R²
    0.000191749999999991×6.1093018179581e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.1093018179581e-05×40589641000000     		ar = 1321265.76665469m²