Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17245 / 18223
↖ ↑ ↗
← S 19.797717°
E  9.459228°		 ← 1 149.43 m → S 19.797717°
E  9.470215°		 →
↑
1 149.39 m
↓
↑
1 149.39 m
↓
S 19.808054°
E  9.459228°		 ← 1 149.36 m →
1 321 107 m²		 S 19.808054°
E  9.470215°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17245 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18223 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.526290893554688 y=0.556137084960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.526290893554688 × 215)
    floor (0.526290893554688 × 32768)
    floor (17245.5)     		tx = 17245
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.556137084960938 × 215)
    floor (0.556137084960938 × 32768)
    floor (18223.5)     		ty = 18223
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17245 / 18223 ti = "15/17245/18223"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17245/18223.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17245 ÷ 215
    17245 ÷ 32768     		x = 0.526275634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18223 ÷ 215
    18223 ÷ 32768     		y = 0.556121826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.526275634765625 × 2 - 1) × π
    0.05255126953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.16509468
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.556121826171875 × 2 - 1) × π
    -0.11224365234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.352623833605133
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16509468} λ = 0.16509468}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.352623833605133))-π/2
    2×atan(0.702841529021166)-π/2
    2×0.612630486105956-π/2
    1.22526097221191-1.57079632675     		φ = -0.34553535
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16509468} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.459228°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.34553535 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.797717°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17245 KachelY 18223 0.16509468 -0.34553535 9.459228 -19.797717
    Oben rechts KachelX + 1 17246 KachelY 18223 0.16528643 -0.34553535 9.470215 -19.797717
    Unten links KachelX 17245 KachelY + 1 18224 0.16509468 -0.34571576 9.459228 -19.808054
    Unten rechts KachelX + 1 17246 KachelY + 1 18224 0.16528643 -0.34571576 9.470215 -19.808054
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.34553535--0.34571576) × R
    0.000180409999999964 × 6371000     		dl = 1149.39210999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.34553535--0.34571576) × R
    0.000180409999999964 × 6371000     		dr = 1149.39210999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16509468-0.16528643) × cos(-0.34553535) × R
    0.000191750000000018 × 0.940894264168065 × 6371000     		do = 1149.43336320769m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16509468-0.16528643) × cos(-0.34571576) × R
    0.000191750000000018 × 0.940833143911184 × 6371000     		du = 1149.35869630291m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.34553535)-sin(-0.34571576))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.940894264168065-0.940833143911184)×R²
    abs(0.16528643-0.16509468)×6.11202568810976e-05×R²
    0.000191750000000018×6.11202568810976e-05×6371000²
    0.000191750000000018×6.11202568810976e-05×40589641000000     		ar = 1321106.73144902m²