Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 17243 / 14575
↖ ↑ ↗
← N 80.066108°
W132.640686°		 ← 52.68 m → N 80.066108°
W132.637940°		 →
↑
52.69 m
↓
↑
52.69 m
↓
N 80.065634°
W132.640686°		 ← 52.68 m →
2 776 m²		 N 80.065634°
W132.637940°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17243 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14575 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.131557464599609 y=0.111202239990234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.131557464599609 × 217)
    floor (0.131557464599609 × 131072)
    floor (17243.5)     		tx = 17243
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.111202239990234 × 217)
    floor (0.111202239990234 × 131072)
    floor (14575.5)     		ty = 14575
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 17243 / 14575 ti = "17/17243/14575"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/17243/14575.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17243 ÷ 217
    17243 ÷ 131072     		x = 0.131553649902344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14575 ÷ 217
    14575 ÷ 131072     		y = 0.111198425292969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.131553649902344 × 2 - 1) × π
    -0.736892700195312 × 3.1415926535     		Λ = -2.31501669
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.111198425292969 × 2 - 1) × π
    0.777603149414062 × 3.1415926535     		Φ = 2.44291234153768
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.31501669} λ = -2.31501669}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44291234153768))-π/2
    2×atan(11.5065028588174)-π/2
    2×1.48410676268784-π/2
    2.96821352537568-1.57079632675     		φ = 1.39741720
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.31501669} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -132.640686°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39741720 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.066108°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17243 KachelY 14575 -2.31501669 1.39741720 -132.640686 80.066108
    Oben rechts KachelX + 1 17244 KachelY 14575 -2.31496876 1.39741720 -132.637940 80.066108
    Unten links KachelX 17243 KachelY + 1 14576 -2.31501669 1.39740893 -132.640686 80.065634
    Unten rechts KachelX + 1 17244 KachelY + 1 14576 -2.31496876 1.39740893 -132.637940 80.065634
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39741720-1.39740893) × R
    8.2699999999214e-06 × 6371000     		dl = 52.6881699994992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39741720-1.39740893) × R
    8.2699999999214e-06 × 6371000     		dr = 52.6881699994992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.31501669--2.31496876) × cos(1.39741720) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.172511792720218 × 6371000     		do = 52.6785512240174m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.31501669--2.31496876) × cos(1.39740893) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.172519938725951 × 6371000     		du = 52.6810387048642m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39741720)-sin(1.39740893))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.172511792720218-0.172519938725951)×R²
    abs(-2.31496876--2.31501669)×8.14600573226243e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.14600573226243e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.14600573226243e-06×40589641000000     		ar = 2775.60199260578m²