Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 17242 / 18212
↖ ↑ ↗
← S 19.683970°
E  9.426270°		 ← 1 150.25 m → S 19.683970°
E  9.437256°		 →
↑
1 150.22 m
↓
↑
1 150.22 m
↓
S 19.694314°
E  9.426270°		 ← 1 150.18 m →
1 323 001 m²		 S 19.694314°
E  9.437256°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17242 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18212 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.526199340820312 y=0.555801391601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.526199340820312 × 215)
    floor (0.526199340820312 × 32768)
    floor (17242.5)     		tx = 17242
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.555801391601562 × 215)
    floor (0.555801391601562 × 32768)
    floor (18212.5)     		ty = 18212
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17242 / 18212 ti = "15/17242/18212"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17242/18212.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17242 ÷ 215
    17242 ÷ 32768     		x = 0.52618408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18212 ÷ 215
    18212 ÷ 32768     		y = 0.5557861328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52618408203125 × 2 - 1) × π
    0.0523681640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.16451944
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5557861328125 × 2 - 1) × π
    -0.111572265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.350514610021851
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16451944} λ = 0.16451944}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.350514610021851))-π/2
    2×atan(0.704325543458436)-π/2
    2×0.613623118161756-π/2
    1.22724623632351-1.57079632675     		φ = -0.34355009
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16451944} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.426270°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.34355009 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.683970°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17242 KachelY 18212 0.16451944 -0.34355009 9.426270 -19.683970
    Oben rechts KachelX + 1 17243 KachelY 18212 0.16471119 -0.34355009 9.437256 -19.683970
    Unten links KachelX 17242 KachelY + 1 18213 0.16451944 -0.34373063 9.426270 -19.694314
    Unten rechts KachelX + 1 17243 KachelY + 1 18213 0.16471119 -0.34373063 9.437256 -19.694314
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.34355009--0.34373063) × R
    0.000180540000000007 × 6371000     		dl = 1150.22034000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.34355009--0.34373063) × R
    0.000180540000000007 × 6371000     		dr = 1150.22034000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16451944-0.16471119) × cos(-0.34355009) × R
    0.000191750000000018 × 0.941564817996425 × 6371000     		do = 1150.25253808365m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16451944-0.16471119) × cos(-0.34373063) × R
    0.000191750000000018 × 0.941503991029994 × 6371000     		du = 1150.178229474m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.34355009)-sin(-0.34373063))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.941564817996425-0.941503991029994)×R²
    abs(0.16471119-0.16451944)×6.0826966430394e-05×R²
    0.000191750000000018×6.0826966430394e-05×6371000²
    0.000191750000000018×6.0826966430394e-05×40589641000000     		ar = 1323001.13339684m²