Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 1724 / 588
↖ ↑ ↗
← N 82.237994°
W104.238281°		 ← 659.96 m → N 82.237994°
W104.194336°		 →
↑
660.23 m
↓
↑
660.23 m
↓
N 82.232057°
W104.238281°		 ← 660.46 m →
435 891 m²		 N 82.232057°
W104.194336°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1724 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 588 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.21051025390625 y=0.07183837890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.21051025390625 × 213)
    floor (0.21051025390625 × 8192)
    floor (1724.5)     		tx = 1724
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.07183837890625 × 213)
    floor (0.07183837890625 × 8192)
    floor (588.5)     		ty = 588
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1724 / 588 ti = "13/1724/588"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1724/588.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1724 ÷ 213
    1724 ÷ 8192     		x = 0.21044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 588 ÷ 213
    588 ÷ 8192     		y = 0.07177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.21044921875 × 2 - 1) × π
    -0.5791015625 × 3.1415926535     		Λ = -1.81930121
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.07177734375 × 2 - 1) × π
    0.8564453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.69060230187451
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.81930121} λ = -1.81930121}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.69060230187451))-π/2
    2×atan(14.7405515090877)-π/2
    2×1.50306004636215-π/2
    3.0061200927243-1.57079632675     		φ = 1.43532377
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.81930121} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -104.238281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43532377 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.237994°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1724 KachelY 588 -1.81930121 1.43532377 -104.238281 82.237994
    Oben rechts KachelX + 1 1725 KachelY 588 -1.81853422 1.43532377 -104.194336 82.237994
    Unten links KachelX 1724 KachelY + 1 589 -1.81930121 1.43522014 -104.238281 82.232057
    Unten rechts KachelX + 1 1725 KachelY + 1 589 -1.81853422 1.43522014 -104.194336 82.232057
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43532377-1.43522014) × R
    0.000103630000000132 × 6371000     		dl = 660.226730000842m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43532377-1.43522014) × R
    0.000103630000000132 × 6371000     		dr = 660.226730000842m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.81930121--1.81853422) × cos(1.43532377) × R
    0.000766989999999801 × 0.135058553119377 × 6371000     		do = 659.962713574775m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.81930121--1.81853422) × cos(1.43522014) × R
    0.000766989999999801 × 0.135161232896442 × 6371000     		du = 660.46445761642m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43532377)-sin(1.43522014))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.135058553119377-0.135161232896442)×R²
    abs(-1.81853422--1.81930121)×0.000102679777064685×R²
    0.000766989999999801×0.000102679777064685×6371000²
    0.000766989999999801×0.000102679777064685×40589641000000     		ar = 435890.657109512m²