Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1724 / 2668
↖ ↑ ↗
← S 47.754098°
W 28.476563°		 ← 6 570.56 m → S 47.754098°
W 28.388672°		 →
↑
6 566.78 m
↓
↑
6 566.78 m
↓
S 47.813154°
W 28.476563°		 ← 6 563.10 m →
43 122 917 m²		 S 47.813154°
W 28.388672°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1724 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2668 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4210205078125 y=0.6514892578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4210205078125 × 212)
    floor (0.4210205078125 × 4096)
    floor (1724.5)     		tx = 1724
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6514892578125 × 212)
    floor (0.6514892578125 × 4096)
    floor (2668.5)     		ty = 2668
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1724 / 2668 ti = "12/1724/2668"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1724/2668.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1724 ÷ 212
    1724 ÷ 4096     		x = 0.4208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2668 ÷ 212
    2668 ÷ 4096     		y = 0.6513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4208984375 × 2 - 1) × π
    -0.158203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.49700978
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6513671875 × 2 - 1) × π
    -0.302734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.951068088461914
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49700978} λ = -0.49700978}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.951068088461914))-π/2
    2×atan(0.386328170350668)-π/2
    2×0.368665042873892-π/2
    0.737330085747784-1.57079632675     		φ = -0.83346624
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49700978} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.476563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83346624 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.754098°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1724 KachelY 2668 -0.49700978 -0.83346624 -28.476563 -47.754098
    Oben rechts KachelX + 1 1725 KachelY 2668 -0.49547579 -0.83346624 -28.388672 -47.754098
    Unten links KachelX 1724 KachelY + 1 2669 -0.49700978 -0.83449697 -28.476563 -47.813154
    Unten rechts KachelX + 1 1725 KachelY + 1 2669 -0.49547579 -0.83449697 -28.388672 -47.813154
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83346624--0.83449697) × R
    0.00103072999999998 × 6371000     		dl = 6566.78082999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83346624--0.83449697) × R
    0.00103072999999998 × 6371000     		dr = 6566.78082999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49700978--0.49547579) × cos(-0.83346624) × R
    0.00153398999999999 × 0.672313863706238 × 6371000     		do = 6570.55720066521m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49700978--0.49547579) × cos(-0.83449697) × R
    0.00153398999999999 × 0.671550492111287 × 6371000     		du = 6563.09673167779m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83346624)-sin(-0.83449697))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.672313863706238-0.671550492111287)×R²
    abs(-0.49547579--0.49700978)×0.000763371594951323×R²
    0.00153398999999999×0.000763371594951323×6371000²
    0.00153398999999999×0.000763371594951323×40589641000000     		ar = 43122917.2532131m²