Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 17237 / 14123
↖ ↑ ↗
← N 80.278004°
W132.657165°		 ← 51.57 m → N 80.278004°
W132.654419°		 →
↑
51.61 m
↓
↑
51.61 m
↓
N 80.277540°
W132.657165°		 ← 51.57 m →
2 661 m²		 N 80.277540°
W132.654419°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17237 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14123 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.131511688232422 y=0.107753753662109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.131511688232422 × 217)
    floor (0.131511688232422 × 131072)
    floor (17237.5)     		tx = 17237
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.107753753662109 × 217)
    floor (0.107753753662109 × 131072)
    floor (14123.5)     		ty = 14123
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 17237 / 14123 ti = "17/17237/14123"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/17237/14123.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17237 ÷ 217
    17237 ÷ 131072     		x = 0.131507873535156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14123 ÷ 217
    14123 ÷ 131072     		y = 0.107749938964844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.131507873535156 × 2 - 1) × π
    -0.736984252929688 × 3.1415926535     		Λ = -2.31530431
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.107749938964844 × 2 - 1) × π
    0.784500122070312 × 3.1415926535     		Φ = 2.46457982016595
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.31530431} λ = -2.31530431}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46457982016595))-π/2
    2×atan(11.7585404122842)-π/2
    2×1.48595590326023-π/2
    2.97191180652046-1.57079632675     		φ = 1.40111548
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.31530431} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -132.657165°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40111548 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.278004°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17237 KachelY 14123 -2.31530431 1.40111548 -132.657165 80.278004
    Oben rechts KachelX + 1 17238 KachelY 14123 -2.31525638 1.40111548 -132.654419 80.278004
    Unten links KachelX 17237 KachelY + 1 14124 -2.31530431 1.40110738 -132.657165 80.277540
    Unten rechts KachelX + 1 17238 KachelY + 1 14124 -2.31525638 1.40110738 -132.654419 80.277540
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40111548-1.40110738) × R
    8.10000000006639e-06 × 6371000     		dl = 51.605100000423m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40111548-1.40110738) × R
    8.10000000006639e-06 × 6371000     		dr = 51.605100000423m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.31530431--2.31525638) × cos(1.40111548) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.168867787918723 × 6371000     		do = 51.5658105205023m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.31530431--2.31525638) × cos(1.40110738) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.168875771586749 × 6371000     		du = 51.5682484295775m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40111548)-sin(1.40110738))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.168867787918723-0.168875771586749)×R²
    abs(-2.31525638--2.31530431)×7.9836680258738e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.9836680258738e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.9836680258738e-06×40589641000000     		ar = 2661.12171281452m²