Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17236 / 17422
↖ ↑ ↗
← S 11.329253°
E  9.360351°		 ← 1 197.83 m → S 11.329253°
E  9.371338°		 →
↑
1 197.75 m
↓
↑
1 197.75 m
↓
S 11.340025°
E  9.360351°		 ← 1 197.79 m →
1 434 677 m²		 S 11.340025°
E  9.371338°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17236 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17422 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.526016235351562 y=0.531692504882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.526016235351562 × 215)
    floor (0.526016235351562 × 32768)
    floor (17236.5)     		tx = 17236
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.531692504882812 × 215)
    floor (0.531692504882812 × 32768)
    floor (17422.5)     		ty = 17422
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17236 / 17422 ti = "15/17236/17422"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17236/17422.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17236 ÷ 215
    17236 ÷ 32768     		x = 0.5260009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17422 ÷ 215
    17422 ÷ 32768     		y = 0.53167724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5260009765625 × 2 - 1) × π
    0.052001953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.16336895
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.53167724609375 × 2 - 1) × π
    -0.0633544921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.199034007222473
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16336895} λ = 0.16336895}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.199034007222473))-π/2
    2×atan(0.819522023191271)-π/2
    2×0.686531779847235-π/2
    1.37306355969447-1.57079632675     		φ = -0.19773277
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16336895} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.360351°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19773277 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.329253°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17236 KachelY 17422 0.16336895 -0.19773277 9.360351 -11.329253
    Oben rechts KachelX + 1 17237 KachelY 17422 0.16356070 -0.19773277 9.371338 -11.329253
    Unten links KachelX 17236 KachelY + 1 17423 0.16336895 -0.19792077 9.360351 -11.340025
    Unten rechts KachelX + 1 17237 KachelY + 1 17423 0.16356070 -0.19792077 9.371338 -11.340025
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19773277--0.19792077) × R
    0.000187999999999994 × 6371000     		dl = 1197.74799999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19773277--0.19792077) × R
    0.000187999999999994 × 6371000     		dr = 1197.74799999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16336895-0.16356070) × cos(-0.19773277) × R
    0.000191749999999991 × 0.980514487589553 × 6371000     		do = 1197.83498323298m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16336895-0.16356070) × cos(-0.19792077) × R
    0.000191749999999991 × 0.9804775382664 × 6371000     		du = 1197.78984448955m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19773277)-sin(-0.19792077))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980514487589553-0.9804775382664)×R²
    abs(0.16356070-0.16336895)×3.69493231532347e-05×R²
    0.000191749999999991×3.69493231532347e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.69493231532347e-05×40589641000000     		ar = 1434677.42730316m²