Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17236 / 16188
↖ ↑ ↗
← N  2.152814°
E  9.360351°		 ← 1 220.78 m → N  2.152814°
E  9.371338°		 →
↑
1 220.81 m
↓
↑
1 220.81 m
↓
N  2.141835°
E  9.360351°		 ← 1 220.79 m →
1 490 343 m²		 N  2.141835°
E  9.371338°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17236 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16188 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.526016235351562 y=0.494033813476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.526016235351562 × 215)
    floor (0.526016235351562 × 32768)
    floor (17236.5)     		tx = 17236
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.494033813476562 × 215)
    floor (0.494033813476562 × 32768)
    floor (16188.5)     		ty = 16188
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17236 / 16188 ti = "15/17236/16188"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17236/16188.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17236 ÷ 215
    17236 ÷ 32768     		x = 0.5260009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16188 ÷ 215
    16188 ÷ 32768     		y = 0.4940185546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5260009765625 × 2 - 1) × π
    0.052001953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.16336895
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4940185546875 × 2 - 1) × π
    0.011962890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.037582529302124
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16336895} λ = 0.16336895}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.037582529302124))-π/2
    2×atan(1.03829768352917)-π/2
    2×0.804185006000539-π/2
    1.60837001200108-1.57079632675     		φ = 0.03757369
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16336895} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.360351°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.03757369 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 2.152814°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17236 KachelY 16188 0.16336895 0.03757369 9.360351 2.152814
    Oben rechts KachelX + 1 17237 KachelY 16188 0.16356070 0.03757369 9.371338 2.152814
    Unten links KachelX 17236 KachelY + 1 16189 0.16336895 0.03738207 9.360351 2.141835
    Unten rechts KachelX + 1 17237 KachelY + 1 16189 0.16356070 0.03738207 9.371338 2.141835
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.03757369-0.03738207) × R
    0.000191619999999997 × 6371000     		dl = 1220.81101999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.03757369-0.03738207) × R
    0.000191619999999997 × 6371000     		dr = 1220.81101999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16336895-0.16356070) × cos(0.03757369) × R
    0.000191749999999991 × 0.999294191953022 × 6371000     		do = 1220.77700718679m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16336895-0.16356070) × cos(0.03738207) × R
    0.000191749999999991 × 0.999301371783313 × 6371000     		du = 1220.78577834928m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.03757369)-sin(0.03738207))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999294191953022-0.999301371783313)×R²
    abs(0.16356070-0.16336895)×7.17983029108193e-06×R²
    0.000191749999999991×7.17983029108193e-06×6371000²
    0.000191749999999991×7.17983029108193e-06×40589641000000     		ar = 1490343.38186236m²