Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 17236 / 14124
↖ ↑ ↗
← N 80.277540°
W132.659912°		 ← 51.58 m → N 80.277540°
W132.657165°		 →
↑
51.54 m
↓
↑
51.54 m
↓
N 80.277076°
W132.659912°		 ← 51.58 m →
2 659 m²		 N 80.277076°
W132.657165°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17236 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14124 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.131504058837891 y=0.107761383056641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.131504058837891 × 217)
    floor (0.131504058837891 × 131072)
    floor (17236.5)     		tx = 17236
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.107761383056641 × 217)
    floor (0.107761383056641 × 131072)
    floor (14124.5)     		ty = 14124
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 17236 / 14124 ti = "17/17236/14124"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/17236/14124.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17236 ÷ 217
    17236 ÷ 131072     		x = 0.131500244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14124 ÷ 217
    14124 ÷ 131072     		y = 0.107757568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.131500244140625 × 2 - 1) × π
    -0.73699951171875 × 3.1415926535     		Λ = -2.31535225
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.107757568359375 × 2 - 1) × π
    0.78448486328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.46453188326633
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.31535225} λ = -2.31535225}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46453188326633))-π/2
    2×atan(11.7579767578229)-π/2
    2×1.4859518556655-π/2
    2.971903711331-1.57079632675     		φ = 1.40110738
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.31535225} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -132.659912°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40110738 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.277540°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17236 KachelY 14124 -2.31535225 1.40110738 -132.659912 80.277540
    Oben rechts KachelX + 1 17237 KachelY 14124 -2.31530431 1.40110738 -132.657165 80.277540
    Unten links KachelX 17236 KachelY + 1 14125 -2.31535225 1.40109929 -132.659912 80.277076
    Unten rechts KachelX + 1 17237 KachelY + 1 14125 -2.31530431 1.40109929 -132.657165 80.277076
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40110738-1.40109929) × R
    8.08999999990512e-06 × 6371000     		dl = 51.5413899993955m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40110738-1.40109929) × R
    8.08999999990512e-06 × 6371000     		dr = 51.5413899993955m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.31535225--2.31530431) × cos(1.40110738) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.168875771586749 × 6371000     		do = 51.5790075049199m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.31535225--2.31530431) × cos(1.40109929) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.168883745387335 × 6371000     		du = 51.5814429088645m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40110738)-sin(1.40109929))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.168875771586749-0.168883745387335)×R²
    abs(-2.31530431--2.31535225)×7.97380058598085e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.97380058598085e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.97380058598085e-06×40589641000000     		ar = 2658.51650358698m²