Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17235 / 17348
↖ ↑ ↗
← S 10.531020°
E  9.349365°		 ← 1 201 m → S 10.531020°
E  9.360351°		 →
↑
1 201.06 m
↓
↑
1 201.06 m
↓
S 10.541821°
E  9.349365°		 ← 1 200.96 m →
1 442 448 m²		 S 10.541821°
E  9.360351°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17235 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17348 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525985717773438 y=0.529434204101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525985717773438 × 215)
    floor (0.525985717773438 × 32768)
    floor (17235.5)     		tx = 17235
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.529434204101562 × 215)
    floor (0.529434204101562 × 32768)
    floor (17348.5)     		ty = 17348
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17235 / 17348 ti = "15/17235/17348"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17235/17348.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17235 ÷ 215
    17235 ÷ 32768     		x = 0.525970458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17348 ÷ 215
    17348 ÷ 32768     		y = 0.5294189453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525970458984375 × 2 - 1) × π
    0.05194091796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.16317721
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5294189453125 × 2 - 1) × π
    -0.058837890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.184844684934937
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16317721} λ = 0.16317721}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.184844684934937))-π/2
    2×atan(0.831233376892834)-π/2
    2×0.693497677029488-π/2
    1.38699535405898-1.57079632675     		φ = -0.18380097
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16317721} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.349365°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18380097 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.531020°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17235 KachelY 17348 0.16317721 -0.18380097 9.349365 -10.531020
    Oben rechts KachelX + 1 17236 KachelY 17348 0.16336895 -0.18380097 9.360351 -10.531020
    Unten links KachelX 17235 KachelY + 1 17349 0.16317721 -0.18398949 9.349365 -10.541821
    Unten rechts KachelX + 1 17236 KachelY + 1 17349 0.16336895 -0.18398949 9.360351 -10.541821
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18380097--0.18398949) × R
    0.000188519999999998 × 6371000     		dl = 1201.06091999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18380097--0.18398949) × R
    0.000188519999999998 × 6371000     		dr = 1201.06091999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16317721-0.16336895) × cos(-0.18380097) × R
    0.000191740000000024 × 0.983156101419139 × 6371000     		do = 1200.99944549553m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16317721-0.16336895) × cos(-0.18398949) × R
    0.000191740000000024 × 0.983121628557162 × 6371000     		du = 1200.95733429054m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18380097)-sin(-0.18398949))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983156101419139-0.983121628557162)×R²
    abs(0.16336895-0.16317721)×3.44728619767753e-05×R²
    0.000191740000000024×3.44728619767753e-05×6371000²
    0.000191740000000024×3.44728619767753e-05×40589641000000     		ar = 1442448.21413703m²