Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 17234 / 16230
↖ ↑ ↗
← N  1.691649°
E  9.338379°		 ← 1 221.11 m → N  1.691649°
E  9.349365°		 →
↑
1 221.07 m
↓
↑
1 221.07 m
↓
N  1.680667°
E  9.338379°		 ← 1 221.11 m →
1 491 056 m²		 N  1.680667°
E  9.349365°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17234 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16230 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525955200195312 y=0.495315551757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525955200195312 × 215)
    floor (0.525955200195312 × 32768)
    floor (17234.5)     		tx = 17234
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.495315551757812 × 215)
    floor (0.495315551757812 × 32768)
    floor (16230.5)     		ty = 16230
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17234 / 16230 ti = "15/17234/16230"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17234/16230.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17234 ÷ 215
    17234 ÷ 32768     		x = 0.52593994140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16230 ÷ 215
    16230 ÷ 32768     		y = 0.49530029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52593994140625 × 2 - 1) × π
    0.0518798828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.16298546
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.49530029296875 × 2 - 1) × π
    0.0093994140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.0295291301659546
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16298546} λ = 0.16298546}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0295291301659546))-π/2
    2×atan(1.02996943821556)-π/2
    2×0.80016058323958-π/2
    1.60032116647916-1.57079632675     		φ = 0.02952484
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16298546} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.338379°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.02952484 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 1.691649°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17234 KachelY 16230 0.16298546 0.02952484 9.338379 1.691649
    Oben rechts KachelX + 1 17235 KachelY 16230 0.16317721 0.02952484 9.349365 1.691649
    Unten links KachelX 17234 KachelY + 1 16231 0.16298546 0.02933318 9.338379 1.680667
    Unten rechts KachelX + 1 17235 KachelY + 1 16231 0.16317721 0.02933318 9.349365 1.680667
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.02952484-0.02933318) × R
    0.00019166 × 6371000     		dl = 1221.06586m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.02952484-0.02933318) × R
    0.00019166 × 6371000     		dr = 1221.06586m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16298546-0.16317721) × cos(0.02952484) × R
    0.000191749999999991 × 0.999564173572613 × 6371000     		do = 1221.10682733006m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16298546-0.16317721) × cos(0.02933318) × R
    0.000191749999999991 × 0.999569813122541 × 6371000     		du = 1221.1137168256m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.02952484)-sin(0.02933318))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999564173572613-0.999569813122541)×R²
    abs(0.16317721-0.16298546)×5.63954992804927e-06×R²
    0.000191749999999991×5.63954992804927e-06×6371000²
    0.000191749999999991×5.63954992804927e-06×40589641000000     		ar = 1491056.06909386m²