Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17232 / 16231
↖ ↑ ↗
← N  1.680667°
E  9.316406°		 ← 1 221.11 m → N  1.680667°
E  9.327393°		 →
↑
1 221.13 m
↓
↑
1 221.13 m
↓
N  1.669686°
E  9.316406°		 ← 1 221.12 m →
1 491 142 m²		 N  1.669686°
E  9.327393°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17232 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16231 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525894165039062 y=0.495346069335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525894165039062 × 215)
    floor (0.525894165039062 × 32768)
    floor (17232.5)     		tx = 17232
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.495346069335938 × 215)
    floor (0.495346069335938 × 32768)
    floor (16231.5)     		ty = 16231
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17232 / 16231 ti = "15/17232/16231"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17232/16231.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17232 ÷ 215
    17232 ÷ 32768     		x = 0.52587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16231 ÷ 215
    16231 ÷ 32768     		y = 0.495330810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52587890625 × 2 - 1) × π
    0.0517578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.16260196
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.495330810546875 × 2 - 1) × π
    0.00933837890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.0293373825674744
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16260196} λ = 0.16260196}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0293373825674744))-π/2
    2×atan(1.02977196298258)-π/2
    2×0.800064750954032-π/2
    1.60012950190806-1.57079632675     		φ = 0.02933318
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16260196} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.316406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.02933318 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 1.680667°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17232 KachelY 16231 0.16260196 0.02933318 9.316406 1.680667
    Oben rechts KachelX + 1 17233 KachelY 16231 0.16279371 0.02933318 9.327393 1.680667
    Unten links KachelX 17232 KachelY + 1 16232 0.16260196 0.02914151 9.316406 1.669686
    Unten rechts KachelX + 1 17233 KachelY + 1 16232 0.16279371 0.02914151 9.327393 1.669686
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.02933318-0.02914151) × R
    0.000191670000000001 × 6371000     		dl = 1221.12957000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.02933318-0.02914151) × R
    0.000191670000000001 × 6371000     		dr = 1221.12957000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16260196-0.16279371) × cos(0.02933318) × R
    0.000191750000000018 × 0.999569813122541 × 6371000     		do = 1221.11371682578m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16260196-0.16279371) × cos(0.02914151) × R
    0.000191750000000018 × 0.99957541624609 × 6371000     		du = 1221.12056182143m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.02933318)-sin(0.02914151))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999569813122541-0.99957541624609)×R²
    abs(0.16279371-0.16260196)×5.60312354880299e-06×R²
    0.000191750000000018×5.60312354880299e-06×6371000²
    0.000191750000000018×5.60312354880299e-06×40589641000000     		ar = 1491142.25182693m²