Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17231 / 17469
↖ ↑ ↗
← S 11.835095°
E  9.305420°		 ← 1 195.61 m → S 11.835095°
E  9.316406°		 →
↑
1 195.58 m
↓
↑
1 195.58 m
↓
S 11.845847°
E  9.305420°		 ← 1 195.56 m →
1 429 418 m²		 S 11.845847°
E  9.316406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17231 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17469 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525863647460938 y=0.533126831054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525863647460938 × 215)
    floor (0.525863647460938 × 32768)
    floor (17231.5)     		tx = 17231
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.533126831054688 × 215)
    floor (0.533126831054688 × 32768)
    floor (17469.5)     		ty = 17469
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17231 / 17469 ti = "15/17231/17469"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17231/17469.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17231 ÷ 215
    17231 ÷ 32768     		x = 0.525848388671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17469 ÷ 215
    17469 ÷ 32768     		y = 0.533111572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525848388671875 × 2 - 1) × π
    0.05169677734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.16241022
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.533111572265625 × 2 - 1) × π
    -0.06622314453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.208046144351044
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16241022} λ = 0.16241022}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.208046144351044))-π/2
    2×atan(0.81216955881002)-π/2
    2×0.682117480460033-π/2
    1.36423496092007-1.57079632675     		φ = -0.20656137
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16241022} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.305420°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.20656137 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.835095°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17231 KachelY 17469 0.16241022 -0.20656137 9.305420 -11.835095
    Oben rechts KachelX + 1 17232 KachelY 17469 0.16260196 -0.20656137 9.316406 -11.835095
    Unten links KachelX 17231 KachelY + 1 17470 0.16241022 -0.20674903 9.305420 -11.845847
    Unten rechts KachelX + 1 17232 KachelY + 1 17470 0.16260196 -0.20674903 9.316406 -11.845847
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.20656137--0.20674903) × R
    0.000187660000000006 × 6371000     		dl = 1195.58186000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.20656137--0.20674903) × R
    0.000187660000000006 × 6371000     		dr = 1195.58186000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16241022-0.16260196) × cos(-0.20656137) × R
    0.000191739999999996 × 0.978741947577657 × 6371000     		do = 1195.6072231328m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16241022-0.16260196) × cos(-0.20674903) × R
    0.000191739999999996 × 0.978703442106091 × 6371000     		du = 1195.56018579058m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.20656137)-sin(-0.20674903))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.978741947577657-0.978703442106091)×R²
    abs(0.16260196-0.16241022)×3.85054715655864e-05×R²
    0.000191739999999996×3.85054715655864e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.85054715655864e-05×40589641000000     		ar = 1429418.19336095m²