Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17231 / 16221
↖ ↑ ↗
← N  1.790480°
E  9.305420°		 ← 1 220.98 m → N  1.790480°
E  9.316406°		 →
↑
1 221 m
↓
↑
1 221 m
↓
N  1.779499°
E  9.305420°		 ← 1 220.99 m →
1 490 823 m²		 N  1.779499°
E  9.316406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17231 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16221 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525863647460938 y=0.495040893554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525863647460938 × 215)
    floor (0.525863647460938 × 32768)
    floor (17231.5)     		tx = 17231
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.495040893554688 × 215)
    floor (0.495040893554688 × 32768)
    floor (16221.5)     		ty = 16221
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17231 / 16221 ti = "15/17231/16221"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17231/16221.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17231 ÷ 215
    17231 ÷ 32768     		x = 0.525848388671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16221 ÷ 215
    16221 ÷ 32768     		y = 0.495025634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525848388671875 × 2 - 1) × π
    0.05169677734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.16241022
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.495025634765625 × 2 - 1) × π
    0.00994873046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0312548585522766
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16241022} λ = 0.16241022}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0312548585522766))-π/2
    2×atan(1.03174842029056)-π/2
    2×0.80102304897691-π/2
    1.60204609795382-1.57079632675     		φ = 0.03124977
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16241022} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.305420°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.03124977 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 1.790480°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17231 KachelY 16221 0.16241022 0.03124977 9.305420 1.790480
    Oben rechts KachelX + 1 17232 KachelY 16221 0.16260196 0.03124977 9.316406 1.790480
    Unten links KachelX 17231 KachelY + 1 16222 0.16241022 0.03105812 9.305420 1.779499
    Unten rechts KachelX + 1 17232 KachelY + 1 16222 0.16260196 0.03105812 9.316406 1.779499
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.03124977-0.03105812) × R
    0.000191649999999998 × 6371000     		dl = 1221.00214999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.03124977-0.03105812) × R
    0.000191649999999998 × 6371000     		dr = 1221.00214999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16241022-0.16260196) × cos(0.03124977) × R
    0.000191739999999996 × 0.99951176567144 × 6371000     		do = 1220.97912488642m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16241022-0.16260196) × cos(0.03105812) × R
    0.000191739999999996 × 0.999517735359216 × 6371000     		du = 1220.98641731098m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.03124977)-sin(0.03105812))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99951176567144-0.999517735359216)×R²
    abs(0.16260196-0.16241022)×5.96968777577533e-06×R²
    0.000191739999999996×5.96968777577533e-06×6371000²
    0.000191739999999996×5.96968777577533e-06×40589641000000     		ar = 1490822.59318759m²