Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17229 / 17475
↖ ↑ ↗
← S 11.899603°
E  9.283447°		 ← 1 195.39 m → S 11.899603°
E  9.294434°		 →
↑
1 195.33 m
↓
↑
1 195.33 m
↓
S 11.910353°
E  9.283447°		 ← 1 195.34 m →
1 428 850 m²		 S 11.910353°
E  9.294434°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17229 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17475 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525802612304688 y=0.533309936523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525802612304688 × 215)
    floor (0.525802612304688 × 32768)
    floor (17229.5)     		tx = 17229
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.533309936523438 × 215)
    floor (0.533309936523438 × 32768)
    floor (17475.5)     		ty = 17475
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17229 / 17475 ti = "15/17229/17475"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17229/17475.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17229 ÷ 215
    17229 ÷ 32768     		x = 0.525787353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17475 ÷ 215
    17475 ÷ 32768     		y = 0.533294677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525787353515625 × 2 - 1) × π
    0.05157470703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.16202672
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.533294677734375 × 2 - 1) × π
    -0.06658935546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.209196629941925
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16202672} λ = 0.16202672}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.209196629941925))-π/2
    2×atan(0.811235706729943)-π/2
    2×0.681554532743611-π/2
    1.36310906548722-1.57079632675     		φ = -0.20768726
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16202672} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.283447°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.20768726 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.899603°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17229 KachelY 17475 0.16202672 -0.20768726 9.283447 -11.899603
    Oben rechts KachelX + 1 17230 KachelY 17475 0.16221847 -0.20768726 9.294434 -11.899603
    Unten links KachelX 17229 KachelY + 1 17476 0.16202672 -0.20787488 9.283447 -11.910353
    Unten rechts KachelX + 1 17230 KachelY + 1 17476 0.16221847 -0.20787488 9.294434 -11.910353
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.20768726--0.20787488) × R
    0.000187619999999999 × 6371000     		dl = 1195.32702m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.20768726--0.20787488) × R
    0.000187619999999999 × 6371000     		dr = 1195.32702m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16202672-0.16221847) × cos(-0.20768726) × R
    0.000191749999999991 × 0.978510412214897 × 6371000     		do = 1195.38672609534m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16202672-0.16221847) × cos(-0.20787488) × R
    0.000191749999999991 × 0.978471708234068 × 6371000     		du = 1195.33944379323m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.20768726)-sin(-0.20787488))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.978510412214897-0.978471708234068)×R²
    abs(0.16221847-0.16202672)×3.87039808288359e-05×R²
    0.000191749999999991×3.87039808288359e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.87039808288359e-05×40589641000000     		ar = 1428849.7983358m²