Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17229 / 16228
↖ ↑ ↗
← N  1.713612°
E  9.283447°		 ← 1 221.09 m → N  1.713612°
E  9.294434°		 →
↑
1 221.13 m
↓
↑
1 221.13 m
↓
N  1.702630°
E  9.283447°		 ← 1 221.10 m →
1 491 117 m²		 N  1.702630°
E  9.294434°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17229 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16228 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525802612304688 y=0.495254516601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525802612304688 × 215)
    floor (0.525802612304688 × 32768)
    floor (17229.5)     		tx = 17229
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.495254516601562 × 215)
    floor (0.495254516601562 × 32768)
    floor (16228.5)     		ty = 16228
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17229 / 16228 ti = "15/17229/16228"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17229/16228.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17229 ÷ 215
    17229 ÷ 32768     		x = 0.525787353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16228 ÷ 215
    16228 ÷ 32768     		y = 0.4952392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525787353515625 × 2 - 1) × π
    0.05157470703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.16202672
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4952392578125 × 2 - 1) × π
    0.009521484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.029912625362915
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16202672} λ = 0.16202672}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.029912625362915))-π/2
    2×atan(1.03036450229588)-π/2
    2×0.800352246179788-π/2
    1.60070449235958-1.57079632675     		φ = 0.02990817
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16202672} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.283447°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.02990817 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 1.713612°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17229 KachelY 16228 0.16202672 0.02990817 9.283447 1.713612
    Oben rechts KachelX + 1 17230 KachelY 16228 0.16221847 0.02990817 9.294434 1.713612
    Unten links KachelX 17229 KachelY + 1 16229 0.16202672 0.02971650 9.283447 1.702630
    Unten rechts KachelX + 1 17230 KachelY + 1 16229 0.16221847 0.02971650 9.294434 1.702630
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.02990817-0.02971650) × R
    0.000191670000000001 × 6371000     		dl = 1221.12957000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.02990817-0.02971650) × R
    0.000191670000000001 × 6371000     		dr = 1221.12957000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16202672-0.16221847) × cos(0.02990817) × R
    0.000191749999999991 × 0.99955278402129 × 6371000     		do = 1221.09291340712m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16202672-0.16221847) × cos(0.02971650) × R
    0.000191749999999991 × 0.999558497305139 × 6371000     		du = 1221.09989297892m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.02990817)-sin(0.02971650))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99955278402129-0.999558497305139)×R²
    abs(0.16221847-0.16202672)×5.71328384868508e-06×R²
    0.000191749999999991×5.71328384868508e-06×6371000²
    0.000191749999999991×5.71328384868508e-06×40589641000000     		ar = 1491116.93032463m²