Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17228 / 17461
↖ ↑ ↗
← S 11.749059°
E  9.272461°		 ← 1 196.04 m → S 11.749059°
E  9.283447°		 →
↑
1 196.03 m
↓
↑
1 196.03 m
↓
S 11.759815°
E  9.272461°		 ← 1 196 m →
1 430 475 m²		 S 11.759815°
E  9.283447°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17228 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17461 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525772094726562 y=0.532882690429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525772094726562 × 215)
    floor (0.525772094726562 × 32768)
    floor (17228.5)     		tx = 17228
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.532882690429688 × 215)
    floor (0.532882690429688 × 32768)
    floor (17461.5)     		ty = 17461
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17228 / 17461 ti = "15/17228/17461"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17228/17461.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17228 ÷ 215
    17228 ÷ 32768     		x = 0.5257568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17461 ÷ 215
    17461 ÷ 32768     		y = 0.532867431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5257568359375 × 2 - 1) × π
    0.051513671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.16183497
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.532867431640625 × 2 - 1) × π
    -0.06573486328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.206512163563202
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16183497} λ = 0.16183497}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.206512163563202))-π/2
    2×atan(0.813416367355394)-π/2
    2×0.682868283950471-π/2
    1.36573656790094-1.57079632675     		φ = -0.20505976
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16183497} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.272461°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.20505976 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.749059°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17228 KachelY 17461 0.16183497 -0.20505976 9.272461 -11.749059
    Oben rechts KachelX + 1 17229 KachelY 17461 0.16202672 -0.20505976 9.283447 -11.749059
    Unten links KachelX 17228 KachelY + 1 17462 0.16183497 -0.20524749 9.272461 -11.759815
    Unten rechts KachelX + 1 17229 KachelY + 1 17462 0.16202672 -0.20524749 9.283447 -11.759815
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.20505976--0.20524749) × R
    0.000187729999999997 × 6371000     		dl = 1196.02782999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.20505976--0.20524749) × R
    0.000187729999999997 × 6371000     		dr = 1196.02782999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16183497-0.16202672) × cos(-0.20505976) × R
    0.000191750000000018 × 0.979048817597797 × 6371000     		do = 1196.04446324367m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16183497-0.16202672) × cos(-0.20524749) × R
    0.000191750000000018 × 0.979010573699236 × 6371000     		du = 1195.99774299612m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.20505976)-sin(-0.20524749))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.979048817597797-0.979010573699236)×R²
    abs(0.16202672-0.16183497)×3.82438985613298e-05×R²
    0.000191750000000018×3.82438985613298e-05×6371000²
    0.000191750000000018×3.82438985613298e-05×40589641000000     		ar = 1430474.52879962m²