Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 17227 / 18246
↖ ↑ ↗
← S 20.035290°
E  9.261475°		 ← 1 147.65 m → S 20.035290°
E  9.272461°		 →
↑
1 147.67 m
↓
↑
1 147.67 m
↓
S 20.045611°
E  9.261475°		 ← 1 147.57 m →
1 317 080 m²		 S 20.045611°
E  9.272461°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17227 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18246 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525741577148438 y=0.556838989257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525741577148438 × 215)
    floor (0.525741577148438 × 32768)
    floor (17227.5)     		tx = 17227
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.556838989257812 × 215)
    floor (0.556838989257812 × 32768)
    floor (18246.5)     		ty = 18246
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17227 / 18246 ti = "15/17227/18246"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17227/18246.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17227 ÷ 215
    17227 ÷ 32768     		x = 0.525726318359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18246 ÷ 215
    18246 ÷ 32768     		y = 0.55682373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525726318359375 × 2 - 1) × π
    0.05145263671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.16164323
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.55682373046875 × 2 - 1) × π
    -0.1136474609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.357034028370178
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16164323} λ = 0.16164323}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.357034028370178))-π/2
    2×atan(0.699748686022157)-π/2
    2×0.61055727737522-π/2
    1.22111455475044-1.57079632675     		φ = -0.34968177
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16164323} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.261475°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.34968177 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.035290°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17227 KachelY 18246 0.16164323 -0.34968177 9.261475 -20.035290
    Oben rechts KachelX + 1 17228 KachelY 18246 0.16183497 -0.34968177 9.272461 -20.035290
    Unten links KachelX 17227 KachelY + 1 18247 0.16164323 -0.34986191 9.261475 -20.045611
    Unten rechts KachelX + 1 17228 KachelY + 1 18247 0.16183497 -0.34986191 9.272461 -20.045611
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.34968177--0.34986191) × R
    0.000180139999999995 × 6371000     		dl = 1147.67193999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.34968177--0.34986191) × R
    0.000180139999999995 × 6371000     		dr = 1147.67193999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16164323-0.16183497) × cos(-0.34968177) × R
    0.000191739999999996 × 0.93948178564951 × 6371000     		do = 1147.64796962494m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16164323-0.16183497) × cos(-0.34986191) × R
    0.000191739999999996 × 0.939420054649082 × 6371000     		du = 1147.57256054476m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.34968177)-sin(-0.34986191))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.93948178564951-0.939420054649082)×R²
    abs(0.16183497-0.16164323)×6.17310004282778e-05×R²
    0.000191739999999996×6.17310004282778e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.17310004282778e-05×40589641000000     		ar = 1317080.10285536m²